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Equation de degré 4

Cette équation est de la forme suivante

$\displaystyle x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0
$

En posant $ y=x-\dfrac{a_{3}}{4}$, nous obtenons

$\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0
$

Le discriminant de cette équation est

$\displaystyle \Delta=16p^{4}r-4p^{3}q^{3}-128p^{2}r^{2}+144pq^{2}r-27q^{4}+256r^{3}
$

Le groupe de Galois de cette équation, identifié à $ S_{4}$, est résoluble et

$\displaystyle S_{4}\supseteq A_{4}\supseteq V\supseteq W\supseteq\left\{ e\right\}
$

$\displaystyle V=\left\{ e,u=\left( 12\right) \left( 34\right) ,v=\left( 13\righ...
...\right) ,t=\left( 14\right) \left( 23\right) \right\}
,W=\left\{ e,u\right\}
$

est une chaîne normale à facteurs abéliens de $ S_{4}$. Il lui correspond, par la correspondance de Galois, la chaîne suivante de corps intermédiaires

$\displaystyle P\subseteq P\left( \Delta\right) \subseteq L_{1}\subseteq L_{2}\subseteq R
$

Nous avons

$\displaystyle G\left( R/P\left( \Delta\right) \right) \simeq A_{4}$, $\displaystyle G\left(
R/L_{1}\right) \simeq V$, $\displaystyle G\left( R/L_{2}\right) \simeq W
$

et

$\displaystyle \left[ R:P\right]$ $\displaystyle =24$, $\displaystyle \left[ R:P\left( \Delta\right) \right] =12$, $\displaystyle \left[ R:L_{1}\right] =4$, $\displaystyle \left[ R:L_{2}\right] =2$    
$\displaystyle \left[ L_{2}:L_{1}\right]$ $\displaystyle =2,\left[ L_{2}:P\left( \Delta\right) \right] =6,\left[ L_{1}:P\left( \Delta\right) \right] =3$ et $\displaystyle \left[ P\left( \Delta\right) :P\right] =2$    

$ L_{1}$ est engendré sur $ P\left( \Delta\right) $ par un élément invariant par tous les $ \sigma\in V$. Mais cet élément est modifié par au moins un élément de $ A_{4}$. Considérons l'élément $ \theta=\left( u_{0}+u_{1}\right) \left( u_{2}+u_{3}\right) $. Cet élément vérifie

$\displaystyle u\left( \theta\right)$ $\displaystyle =\left( u_{1}+u_{0}\right) \left( u_{3} +u_{2}\right) =\theta$    
$\displaystyle v\left( \theta\right)$ $\displaystyle =\left( u_{2}+u_{3}\right) \left( u_{0} +u_{1}\right) =\theta$    
$\displaystyle t\left( \theta\right)$ $\displaystyle =\left( u_{3}+u_{2}\right) \left( u_{1} +u_{0}\right) =\theta$    

Donc $ \theta\in L_{1}$. d'un autre côté, $ \sigma=\left( 123\right)
\in A_{4}$ et $ \sigma\left( \theta\right) \neq\theta$ ce qui prouve $ \theta\notin P\left( \Delta\right) $. D'où $ L_{1}=P\left(
\Delta\right) \left( \theta\right) =P\left( \Delta,\theta\right) $. Le polynôme minimal de $ \theta$ sur $ P\left( \Delta\right) $ est le polynôme ayant comme racines les $ \sigma\left( \theta\right) $ pour tout élément $ \sigma$ de $ A_{4}=G\left( R/P\left( \Delta\right) \right)
$. Mais

\begin{displaymath}
A_{4}=\left\{
\begin{array}[c]{c}
e,\left( 123\right) ,\le...
...ht) ,\left( 12\right) \left( 34\right)
\end{array}
\right\}
\end{displaymath}

Calculant ces image de $ \theta$, nous obtenons

$\displaystyle \theta_{1}$ $\displaystyle =\theta$    
$\displaystyle \theta_{2}$ $\displaystyle =\left( u_{0}+u_{2}\right) \left( u_{1}+u_{3}\right)$    
$\displaystyle \theta_{3}$ $\displaystyle =\left( u_{0}+u_{3}\right) \left( u_{1}+u_{2}\right)$    

Or ces images sont les racines de l'équation

$\displaystyle \left( x-\theta_{1}\right) \left( x-\theta_{2}\right) \left( x-\theta
_{3}\right) =x^{3}-b_{1}x^{2}+b_{2}x-b_{3}=0
$

avec

$\displaystyle b_{1}$ $\displaystyle =\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}=2p$    
$\displaystyle b_{2}$ $\displaystyle =\theta_{1}\theta_{2}+\theta_{1}\theta_{3}+\theta_{2}\theta _{3}=p^{2}-4r$    
$\displaystyle b_{3}$ $\displaystyle =\theta_{1}\theta_{2}\theta_{3}=-q^{2}$    

Cette équation de degré 3 est appelée la résolvante cubique de l'équation de degré 4. Le polynôme minimal de $ \theta$ sur $ P\left( \Delta\right) $ est donc le polynôme $ \linebreak X^{3}-b_{1}X^{2}+b_{2}X-b_{3}$. $ \theta_{1}$ et $ \theta_{2}$ appartiennent à $ L_{1}$ car ils sont invariants par tous les éléments de $ V=G\left( R/L_{1}\right) $.

$ L_{2}$ est engendré sur $ L_{1}$ par un élément de degré $ 2 $. Si $ \lambda=u_{1}+u_{2}$, alors $ \lambda$ est invariant par tous les éléments de $ W$ mais transformé par l'élément $ v$ de $ V$ car nous avons

$\displaystyle v\left( \lambda\right) =u_{3}+u_{4}\neq\lambda$ $\displaystyle \left( u_{1}
+u_{2}+u_{3}+u_{4}=0\right)
$

Donc $ \lambda\in L_{1}$ et $ \lambda\notin L_{2}$. Il en résulte $ L_{2}=L_{1}\left( \lambda\right) $ et la chaîne des corps intermédiaires devient

$\displaystyle P\subseteq P\left( \Delta\right) \subseteq P\left( \Delta,\theta\right)
\subseteq P\left( \Delta,\theta,\lambda\right) \subseteq R
$

Pour calculer les racines $ u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}$ en fonction de $ \theta
_{1},\theta_{2},\theta_{3}$, nous avons

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}[c]{c}
\left( u_{1}+u_{2}\right) \lef...
...theta_{1}\\
u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}=0
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Ces deux équations nous donnent

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}[c]{c}
u_{1}+u_{2}=\sqrt{-\theta_{1}}\\
u_{3}+u_{4}=-\sqrt{-\theta_{1}}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

De même, nous avons

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}[c]{c}
u_{1}+u_{3}=\sqrt{-\theta_{2}}\\
u_{2}+u_{4}=-\sqrt{-\theta_{2}}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

et

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}[c]{c}
u_{1}+u_{4}=\sqrt{-\theta_{3}}\\
u_{2}+u_{3}=-\sqrt{-\theta_{3}}
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

Le choix de $ \sqrt{-\theta_{1}},\sqrt{-\theta_{2}},\sqrt{-\theta_{3}}$ doit satisfaire

$\displaystyle \left( \sqrt{-\theta_{1}}\right) \left( \sqrt{-\theta_{2}}\right)...
... u_{1}+u_{2}\right) \left( u_{1}
+u_{3}\right) \left( u_{1}+u_{4}\right) =-q
$

Nous obtenons

$\displaystyle u_{1}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \sqrt{-\theta_{1}}+\sqrt{-\theta_{2}} +\sqrt{-\theta_{3}}\right)$    
$\displaystyle u_{2}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \sqrt{-\theta_{1}}-\sqrt{-\theta_{2}} -\sqrt{-\theta_{3}}\right)$    
$\displaystyle u_{3}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \sqrt{-\theta_{1}}+\sqrt{-\theta_{2}} -\sqrt{-\theta_{3}}\right)$    
$\displaystyle u_{4}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\left( \sqrt{-\theta_{1}}-\sqrt{-\theta_{2}} +\sqrt{-\theta_{3}}\right)$    


Exemple Soit à résoudre l'équation de degré 4 suivante

$\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-5=0
$

En posant $ y=x-\dfrac{1}{2}$, nous obtenons

$\displaystyle y^{4}+\frac{5}{2}y^{2}+5y-\frac{51}{16}=0
$

La résolvante cubique est

$\displaystyle x^{3}-5x^{2}+19x+25=0
$

Les racines de cette équation de degré 3 sont

$\displaystyle \theta_{1}=-1,\theta_{2}=3-4i$ et $\displaystyle \theta_{3}=3+4i.
$

Nous avons

$\displaystyle \sqrt{-\theta_{1}}$ $\displaystyle =\pm1$    
$\displaystyle \sqrt{-\theta_{2}}$ $\displaystyle =\sqrt{4i-3}=\pm\left( 1+2i\right)$    
$\displaystyle \sqrt{-\theta_{3}}$ $\displaystyle =\sqrt{-3-4i}=\pm\left( 1-2i\right)$    

La condition

$\displaystyle \left( \sqrt{-\theta_{1}}\right) \left( \sqrt{-\theta_{2}}\right)...
...{1}+u_{2}\right) \left( u_{1}
+u_{3}\right) \left( u_{1}+u_{4}\right) =-q=-5
$

nous donne $ \sqrt{-\theta_{1}}=1,\sqrt{-\theta_{2}}=1+2i$ et $ \sqrt
{-\theta_{3}}=2i-1$. Les racines de l'équation en $ y$ sont

$\displaystyle y_{0}=\frac{1}{2}+2i,y_{1}=\frac{1}{2}-2i,y_{2}=\frac{1}{2}$ et $\displaystyle y_{3}=-\frac{3}{2}
$

On en déduit les racines de l'équation initiale en $ x$. Ces racines sont

$\displaystyle x_{0}=1+2i,x_{1}=1-2i,x_{2}=1$ et $\displaystyle x_{3}=-1
$



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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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