Le cas des groupes

Définition sous-groupe de
On définit les classes à gauche suivant comme les , , et les classes à droite suivant comme les .
On note l'ensemble des classes à gauche, l'ensemble des classes à droite.
On note le cardinal de quand celui-ci est fini.

On travaille généralement sur plutôt que sur .

Proposition Les classes à gauche déterminent une partition de en parties non vides. Pareil pour les classes à droite.

Proposition sous-groupe de , il y a équivalence entre les trois assertions suivantes:
distingué
pour tout
il existe une structure de groupe sur le quotient telle que soit un homomorphisme.

On voit donc que dans ce cas . Cette propriété d'un sous-groupe distingué est fondamentale: la partition en classes à droite est égale à la partition en classes à gauche. Ce fait est caractéristique des sous groupes distingués.

Proposition et deux groupes, sous-groupe distingué de , ; alors les deux assertions suivantes sont équivalentes:
Il existe de dans tel que

Dans ce cas est unique, et est un homomorphisme de groupes de dans .

En particulier, est une injection si , et induit un isomorphisme de dans .

Les preuves de ces faits sont faciles, et sont logiques intuitivement; si on quotiente par quelque chose de trop gros par rapport au noyau, alors on n'a plus la précision requise pour reconstruire la fonction...

est un groupe abélien, c'est d'ailleurs son plus grand quotient abélien, et est le seul sous-groupe à avoir cette propriété.

Théorème [Factorisation d'homomorphismes]

Soit un groupe, un sous-groupe distingué de , un homomorphisme de vers un groupe .

Alors si , alors il existe une application ^1.2 telle que

Cela servira par exemple pour le théorème .

Démonstration: Si facile que vous le prouver serait une injure... La fonction est bien définie, car si deux éléments on même image par alors ils ont même image par , et l'application est bien un homomorphisme car en est un (la vérification de cette implication est facile).

Notes

... ^1.2

De dans .