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Le cas des groupes

Définition $ H$ sous-groupe de $ G$
On définit les classes à gauche suivant $ H$ comme les $ xH$, $ x\in G$, et les classes à droite suivant $ H$ comme les $ Hx$.
On note $ G/H$ l'ensemble des classes à gauche, $ H \setminus G$ l'ensemble des classes à droite.
On note $ (G:H)$ le cardinal de $ G/H$ quand celui-ci est fini.

On travaille généralement sur $ G/H$ plutôt que sur $ H \setminus G$.

Proposition Les classes à gauche déterminent une partition de $ G$ en parties non vides. Pareil pour les classes à droite.

Proposition $ N$ sous-groupe de $ G$, il y a équivalence entre les trois assertions suivantes:
$ \bullet $$ N$ distingué
$ \bullet $$ gN=Ng$ pour tout $ g$
$ \bullet $il existe une structure de groupe sur le quotient $ G/N$ telle que $ \Pi$ soit un homomorphisme.

On voit donc que dans ce cas $ G/H=H\setminus G$. Cette propriété d'un sous-groupe distingué est fondamentale: la partition en classes à droite est égale à la partition en classes à gauche. Ce fait est caractéristique des sous groupes distingués.

Proposition $ G$ et $ G'$ deux groupes, $ N$ sous-groupe distingué de $ G$, $ \phi \in Hom(G,G')$; alors les deux assertions suivantes sont équivalentes:
$ \bullet $Il existe $ \overline \phi$ de $ G/N$ dans $ G'$ tel que $ \phi=\overline \phi \circ \Pi$
$ \bullet $ $ N \subset Ker  \phi$

Dans ce cas $ \overline \phi$ est unique, et est un homomorphisme de groupes de $ G/N$ dans $ G'$.

En particulier, $ \overline \phi$ est une injection si $ N=Ker \phi$, et induit un isomorphisme de $ G/Ker \phi$ dans $ Im \phi$.

Les preuves de ces faits sont faciles, et sont logiques intuitivement; si on quotiente par quelque chose de trop gros par rapport au noyau, alors on n'a plus la précision requise pour reconstruire la fonction...

$ G/D(G)$ est un groupe abélien, c'est d'ailleurs son plus grand quotient abélien, et $ D(G)$ est le seul sous-groupe à avoir cette propriété.

Théorème [Factorisation d'homomorphismes]

Soit $ G$ un groupe, $ H$ un sous-groupe distingué de $ G$, $ \phi$ un homomorphisme de $ G$ vers un groupe $ G'$.

Alors si $ H \subset Ker \phi$, alors il existe une application $ \tilde \phi$1.2 telle que

$\displaystyle \phi=\tilde \phi \circ p$

avec $ p$ la projection canonique de $ G$ sur $ G/H$.

Application(s)... Cela servira par exemple pour le théorème [*].

Démonstration: Si facile que vous le prouver serait une injure... La fonction $ \tilde \phi$ est bien définie, car si deux éléments on même image par $ p$ alors ils ont même image par $ \phi$, et l'application $ \tilde \phi$ est bien un homomorphisme car $ \phi$ en est un (la vérification de cette implication est facile).$ \sqcap$$ \sqcup$



Notes

... $ \tilde \phi$1.2
De $ G/H$ dans $ G'$.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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