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Le théorème de Lagrange

Définition On appelle indice de $ H$ dans $ G$, avec $ H$ un sous-groupe de $ G$, le cardinal de $ G/H$.

Un théorème fondamental:

Théorème [Théorème de Lagrange] Soit $ G$ un groupe fini, et $ H$ un sous-groupe de $ G$, alors

$\displaystyle \vert G\vert=\vert H\vert.\vert G/H\vert$


Démonstration: Il suffit de montrer que chaque classe d'équivalence est de même cardinal, et que ce cardinal est $ \vert H\vert$ (chose facile à prouver!).$ \sqcap$$ \sqcup$

On remarque qu'il n'est absolument pas nécéssaire que $ H$ soit distingué.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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