Définition
Avec un groupe et un ensemble, on appelle action à gauche de sur une
application de
dans telle que:
On dit aussi que opère à gauche sur où que est une opération à gauche sur .
Usuellement on note plus simplement au lieu de
. Les deux conditions deviennent alors:
1.x=x
(g.h).x=g.(h.x)
On définit de manière symétrique une action à droite. Une action sans plus de précision désigne une action à gauche. On dit que est un -ensemble.
Propriétés:
Etant donné et dans il n'est pas du tout nécéssaire qu'il existe un tel que .
Si opère sur alors tout sous-groupe de opère sur pour la loi restreinte.
L'équivalence suivante est fondamentale: se donner une action de sur revient à se
donner un homomorphisme de dans le groupe
des bijections de (
).
Un exemple fondamental est l'action d'un groupe sur lui-même; l'action est en fait simplement la loi du groupe. Il est clair que les conditions sont vérifiées.
Pour le cas des actions à droite, il faut noter que si on a une action à droite , alors
est une action à gauche du groupe opposé (le groupe opposé à étant muni de
). On travaillera à peu près toujours avec des classes à gauche, les résultats étant les mêmes, et puisqu'on peut reformuler le problème en terme d'action à gauche.
Définition
Etant donnés et deux -ensembles, on appelle -homomorphisme de vers une application de dans telle que
pour tous et . On note l'ensemble des homomorphismes de sur . Comme d'habitude, un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.
Un exemple facile et classique:
Soit un groupe et un -ensemble. L'application pour qui à dans associe est un homomorphisme de (en tant que -ensemble) sur (en tant que -ensemble).
Démonstration:Soit dans et dans ( est pris dans en tant que -ensemble)
alors
et
.
Définition
On note ou et on appelle stabilisateur ou fixateur de l'ensemble des tels que . C'est un sous-groupe de , qui n'est pas nécessairement distingué.
On appelle G-orbite de appartenant à (ou plus simplement orbite s'il n'y a pas de risque de confusion) et on note
ou la classe d'équivalence de pour la relation définie par
(il est facile de vérifier qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence).
Un -ensemble est dit homogène s'il ne contient qu'une seule orbite.
On dit que est un point fixe, si l'orbite de est réduite à .
On dit que opère transitivement si
.
On dit que opère fois transitivement si
.
On dit que opère fidèlement si
.
Proposition
Lorsque est fini, on a pour tout dans ,
.
Démonstration:On constatera simplement que l'application qui à
associe de dans
est une bijection.
La figure tâche de montrer l'allure générale d'un -ensemble.
Figure:
Exemple de -ensemble . Les séparations verticales sont les séparations entre les orbites, qui réalisent une partition de . L'action n'étant pas nécessairement injective, les orbites ne sont pas nécessairement de même cardinal que . A l'intérieur d'une même orbite, le stabilisateur est toujours le même à conjugaison près, et en particulier, les stabilisateurs dans une même orbite sont équipotents. Si le groupe et l'ensemble sont finis, le cardinal du groupe est le produit du cardinal de l'orbite par le cardinal d'un stabilisateur de cette orbite. On notera que le cardinal du groupe agissant sur cet ensemble est au moins (ppcm des cardinaux des orbites).
Figure: est un élément de . est d'ordre ,
est de cardinal ,
donc est de cardinal (il est en bijection avec
), et est de cardinal
.
Propriétés:
Chaque orbite est un ensemble homogène.
Proposition groupe, et des -ensembles homogènes, alors les assertions suivantes sont équivalentes:
est conjugué à est conjugué à
Démonstration:laissée en exercice.
Exemples classiques:
Le groupe orthogonal
opère sur
; les orbites sont les sphères de centre l'origine, le stabilisateur de 0 est
tout entier, et le stabilisateur d'un point quelconque autre que 0 est l'ensemble des rotations d'axe la droite vectorielle engendrée par ce point et des symétries par rapport à un sous-espace vectoriel passant par ce point. 0 est un point fixe.
On peut faire opérer sur ses sous-groupes par conjugaison, avec
. Le stabilisateur d'un point (c'est à dire d'un sous-groupe) est alors le normalisateur de ce point (ie de ce sous-groupe).
Si est un espace topologique et est un -ensemble tel que pour tout l'application
est un homéomorphisme, alors on dit que agit sur par homéomorphismes. La topologie quotient pour la relation d'équivalence "être dans la même orbite" vérifie des propriétés intéressantes (voir proposition et théorème ).
Proposition
Un -ensemble homogène est isomorphe à un quotient de pour l'action de sur par translation à gauche.
Pour bien voir l'intérêt de cette remarque, il faut se rappeler que tout -ensemble est partitionné naturellement en orbites, qui sont des -ensembles homogènes, et que donc on peut identifier à des actions par translation d'un groupe sur un groupe quotient.
Proposition [Sur l'ensemble des points fixes]
Etant donnés un -groupe et un ensemble sur lequel agit , le cardinal de l'ensemble des points fixes de pour est congru au cardinal de modulo .
Démonstration:Le cardinal des orbites divise le cardinal de , donc le cardinal de l'union des orbites
est congru au nombre d'orbites de cardinal modulo . Le cardinal de l'union des orbites est le cardinal de .