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Définition Avec

un groupe et

un ensemble, on appelle action à gauche de

sur

une application $\alpha$ de $G \times X$ dans

telle que:
$\bullet$ $\alpha (1,x)=x$
$\bullet$ $\alpha (g,\alpha (h,x))=(g.h,x)$
On dit aussi que

opère à gauche sur

où que

est une opération à gauche sur

. Usuellement on note plus simplement

au lieu de $\alpha (g,x)$ . Les deux conditions deviennent alors:
$\bullet$ 1.x=x
$\bullet$ (g.h).x=g.(h.x)
On définit de manière symétrique une action à droite. Une action sans plus de précision désigne une action à gauche. On dit que

est un

-ensemble.

Propriétés:
$\bullet$ $g.x=y \iff g^{-1}.y=x$
$\bullet$ Etant donné

dans

il n'est pas du tout nécéssaire qu'il existe un

tel que

.
$\bullet$ Si

opère sur

alors tout sous-groupe

opère sur

pour la loi restreinte.

L'équivalence suivante est fondamentale: se donner une action de

sur

revient à se donner un homomorphisme $\phi$ de

dans le groupe $\sigma (X)$ des bijections de

( $g.x=\phi(g).x$ ).

Un exemple fondamental est l'action d'un groupe sur lui-même; l'action est en fait simplement la loi du groupe. Il est clair que les conditions sont vérifiées.

Pour le cas des actions à droite, il faut noter que si on a une action à droite

, alors $a_2(g,x) \rightarrow a_1(x,g^{-1})$ est une action à gauche du groupe opposé (le groupe opposé à

étant

muni de $(x,y)\to yx$ ). On travaillera à peu près toujours avec des classes à gauche, les résultats étant les mêmes, et puisqu'on peut reformuler le problème en terme d'action à gauche.

Définition Etant donnés

deux

-ensembles

, on appelle -homomorphisme de

vers

une application $\phi$ de

dans

telle que $\phi(g,x)=g.\phi(x)$ pour tous $x\in G$ et $g \in G$ . On note

l'ensemble des homomorphismes de

sur

. Comme d'habitude, un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.

Un exemple facile et classique:
Soit

un groupe et

-ensemble. L'application $\phi_x$ pour $x\in G$ qui à

dans

associe

est un homomorphisme de

(en tant que

-ensemble) sur

(en tant que

-ensemble).
Démonstration: Soit

dans

(

est pris dans

en tant que

-ensemble) alors $\phi_x(g.y)=g.y.x$ et $g.\phi_x(y)=g.y.x$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Définition On note

et on appelle stabilisateur ou fixateur de

l'ensemble des

tels que

. C'est un sous-groupe de

, qui n'est pas nécessairement distingué.
On appelle G-orbite de

appartenant à

(ou plus simplement orbite s'il n'y a pas de risque de confusion) et on note ${\omega}(x)$ ou

la classe d'équivalence de

pour la relation ${\cal R}$ définie par $a {\cal R}b \iff \exists g \in G / g.a=b$ (il est facile de vérifier qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence).
Un

-ensemble

est dit homogène s'il ne contient qu'une seule orbite.
On dit que $x \in X$ est un point fixe, si l'orbite de

est réduite à $\{x\}$ .
On dit que

opère transitivement si $\forall x \forall y \exists g / y=g.x$ .
On dit que

opère fois transitivement si $\forall (x_i)_{i\in \{1,...,k\}} \forall (y_i)_{i\in \{1,...,k\}} (i\neq j \ri... ...land y_i \neq y_j ) \rightarrow \exists g \forall i \in \{1,...,k\} / y_i=g.x_i$ .
On dit que

opère fidèlement si $\forall x g.x=x \rightarrow g=1$ .

Proposition Lorsque

est fini, on a pour tout

dans

, $\vert{\omega}(x)\vert.\vert H_x\vert=\vert G\vert$ .

Démonstration: On constatera simplement que l'application qui à $\overline g$ associe

dans ${\omega}(x)$ est une bijection. $\sqcap$ $\sqcup$

**Figure:** Exemple de -ensemble . Les séparations verticales sont les séparations entre les orbites, qui réalisent une partition de . L'action n'étant pas nécessairement injective, les orbites ne sont pas nécessairement de même cardinal que . A l'intérieur d'une même orbite, le stabilisateur est toujours le même à conjugaison près, et en particulier, les stabilisateurs dans une même orbite sont équipotents. Si le groupe et l'ensemble sont finis, le cardinal du groupe est le produit du cardinal de l'orbite par le cardinal d'un stabilisateur de cette orbite. On notera que le cardinal du groupe agissant sur cet ensemble est au moins (ppcm des cardinaux des orbites).
$\begin{figure}\begin{displaymath} \epsfxsize =6cm \epsfbox{oper.eps}\end{displaymath}\end{figure}$

**Figure:** est un élément de . est d'ordre , ${\omega}(x)$ est de cardinal , donc est de cardinal (il est en bijection avec ${\omega}(x)$ ), et est de cardinal $\frac42=2$ .
$\begin{figure}\begin{displaymath} \epsfxsize =8cm \epsfbox{oper2.eps}\end{displaymath}\end{figure}$

Proposition

groupe,

des

-ensembles homogènes

, alors les assertions suivantes sont équivalentes:
$\bullet$ $X \simeq X'$
$\bullet$ $\exists (x,x') \in X\times X' / H_x=H_{x'}$
$\bullet$ $\exists (x,x') \in X\times X' / H_x$ est conjugué à $H_{x'}$
$\bullet$ $\forall (x,x') \in X\times X' / H_x$ est conjugué à $H_{x'}$

Exemples classiques:
$\bullet$ Le groupe orthogonal $O(3,\mathbb{R})$ opère sur $\mathbb{R}^3$ ; les orbites sont les sphères de centre l'origine, le stabilisateur de 0 est $O(3,\mathbb{R})$ tout entier, et le stabilisateur d'un point quelconque autre que 0 est l'ensemble des rotations d'axe la droite vectorielle engendrée par ce point et des symétries par rapport à un sous-espace vectoriel passant par ce point. 0 est un point fixe.
$\bullet$ On peut faire opérer