Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
164 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Opération d'un groupe sur un ensemble next up previous index
suivant: Produits monter: Théorie des groupes précédent: Le théorème de Lagrange   Index


Opération d'un groupe sur un ensemble

Définition Avec $ G$ un groupe et $ X$ un ensemble, on appelle action à gauche de $ G$ sur $ X$ une application $ \alpha $ de $ G \times X$ dans $ X$ telle que:
$ \bullet $ $ \alpha (1,x)=x$
$ \bullet $ $ \alpha (g,\alpha (h,x))=(g.h,x)$
On dit aussi que $ G$ opère à gauche sur $ X$ où que $ G$ est une opération à gauche sur $ X$. Usuellement on note plus simplement $ g.x$ au lieu de $ \alpha (g,x)$. Les deux conditions deviennent alors:
$ \bullet $1.x=x
$ \bullet $(g.h).x=g.(h.x)
On définit de manière symétrique une action à droite. Une action sans plus de précision désigne une action à gauche. On dit que $ X$ est un $ G$-ensemble.

Propriétés:
$ \bullet $ $ g.x=y \iff g^{-1}.y=x$
$ \bullet $Etant donné $ x$ et $ y$ dans $ X$ il n'est pas du tout nécéssaire qu'il existe un $ g$ tel que $ g.x=y$.
$ \bullet $Si $ G$ opère sur $ X$ alors tout sous-groupe $ H$ de $ G$ opère sur $ X$ pour la loi restreinte.

L'équivalence suivante est fondamentale: se donner une action de $ G$ sur $ X$ revient à se donner un homomorphisme $ \phi$ de $ G$ dans le groupe $ \sigma (X)$ des bijections de $ X$ ( $ g.x=\phi(g).x$).

Un exemple fondamental est l'action d'un groupe sur lui-même; l'action est en fait simplement la loi du groupe. Il est clair que les conditions sont vérifiées.

Pour le cas des actions à droite, il faut noter que si on a une action à droite $ a_1(x,g)$, alors $ a_2(g,x) \rightarrow a_1(x,g^{-1})$ est une action à gauche du groupe opposé (le groupe opposé à $ G$ étant $ G$ muni de $ (x,y)\to yx$). On travaillera à peu près toujours avec des classes à gauche, les résultats étant les mêmes, et puisqu'on peut reformuler le problème en terme d'action à gauche.

Définition Etant donnés $ X$ et $ X'$ deux $ G$-ensembles, on appelle $ G$-homomorphisme de $ X$ vers $ X'$ une application $ \phi$ de $ X$ dans $ X'$ telle que $ \phi(g,x)=g.\phi(x)$ pour tous $ x\in G$ et $ g \in G$. On note $ Hom(X,X')$ l'ensemble des homomorphismes de $ X$ sur $ X'$. Comme d'habitude, un isomorphisme est un homomorphisme bijectif.

Un exemple facile et classique:
Soit $ G$ un groupe et $ X$ un $ G$-ensemble. L'application $ \phi_x$ pour $ x\in G$ qui à $ g$ dans $ G$ associe $ g.x$ est un homomorphisme de $ G$ (en tant que $ G$-ensemble) sur $ X$ (en tant que $ G$-ensemble).
Démonstration: Soit $ g$ dans $ G$ et $ y$ dans $ G$ ($ y$ est pris dans $ G$ en tant que $ G$-ensemble) alors $ \phi_x(g.y)=g.y.x$ et $ g.\phi_x(y)=g.y.x$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition On note $ H_x$ ou $ G_x$ et on appelle stabilisateur ou fixateur de $ x$ l'ensemble des $ g$ tels que $ g.x=x$. C'est un sous-groupe de $ G$, qui n'est pas nécessairement distingué.
On appelle G-orbite de $ x$ appartenant à $ X$ (ou plus simplement orbite s'il n'y a pas de risque de confusion) et on note $ {\omega}(x)$ ou $ G.x$ la classe d'équivalence de $ x$ pour la relation $ {\cal R}$ définie par $ a {\cal R}b \iff \exists g \in G / g.a=b$ (il est facile de vérifier qu'il s'agit bien d'une relation d'équivalence).
Un $ G$-ensemble est dit homogène s'il ne contient qu'une seule orbite.
On dit que $ x \in X$ est un point fixe, si l'orbite de $ x$ est réduite à $ \{x\}$.
On dit que $ G$ opère transitivement si $ \forall x \forall y \exists g / y=g.x$.
On dit que $ G$ opère $ k$ fois transitivement si $ \forall (x_i)_{i\in \{1,...,k\}} \forall (y_i)_{i\in \{1,...,k\}} (i\neq j \ri...
...land y_i \neq y_j ) \rightarrow \exists g \forall i \in \{1,...,k\} / y_i=g.x_i$.
On dit que $ G$ opère fidèlement si $ \forall x g.x=x \rightarrow g=1$.

Proposition Lorsque $ G$ est fini, on a pour tout $ x$ dans $ X$, $ \vert{\omega}(x)\vert.\vert H_x\vert=\vert G\vert$.

Démonstration: On constatera simplement que l'application qui à $ \overline g$ associe $ g.x$ de $ G/H_x$ dans $ {\omega}(x)$ est une bijection.$ \sqcap$$ \sqcup$

La figure [*] tâche de montrer l'allure générale d'un $ G$-ensemble.

Figure: Exemple de $ G$-ensemble $ X$. Les séparations verticales sont les séparations entre les orbites, qui réalisent une partition de $ X$. L'action n'étant pas nécessairement injective, les orbites ne sont pas nécessairement de même cardinal que $ G$. A l'intérieur d'une même orbite, le stabilisateur est toujours le même à conjugaison près, et en particulier, les stabilisateurs dans une même orbite sont équipotents. Si le groupe et l'ensemble sont finis, le cardinal du groupe est le produit du cardinal de l'orbite par le cardinal d'un stabilisateur de cette orbite. On notera que le cardinal du groupe agissant sur cet ensemble est au moins $ 84$ (ppcm des cardinaux des orbites).
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =6cm
\epsfbox{oper.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Figure: $ x$ est un élément de $ X$. $ G$ est d'ordre $ 2$, $ {\omega}(x)$ est de cardinal $ 2$, donc $ G/H_x$ est de cardinal $ 2$ (il est en bijection avec $ {\omega}(x)$), et $ H_x$ est de cardinal $ \frac42=2$.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =8cm
\epsfbox{oper2.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Propriétés:
$ \bullet $Chaque orbite est un ensemble homogène.

Proposition $ G$ groupe, $ X$ et $ X'$ des $ G$-ensembles homogènes, alors les assertions suivantes sont équivalentes:
$ \bullet $ $ X \simeq X'$
$ \bullet $ $ \exists (x,x') \in X\times X' / H_x=H_{x'}$
$ \bullet $ $ \exists (x,x') \in X\times X' / H_x$    est conjugué à $ H_{x'}$
$ \bullet $ $ \forall (x,x') \in X\times X' / H_x$    est conjugué à $ H_{x'}$

Démonstration: laissée en exercice. $ \sqcap$$ \sqcup$

Pour y voir plus clair Exemples classiques:
$ \bullet $Le groupe orthogonal $ O(3,\mathbb{R})$ opère sur $ \mathbb{R}^3$; les orbites sont les sphères de centre l'origine, le stabilisateur de 0 est $ O(3,\mathbb{R})$ tout entier, et le stabilisateur d'un point quelconque autre que 0 est l'ensemble des rotations d'axe la droite vectorielle engendrée par ce point et des symétries par rapport à un sous-espace vectoriel passant par ce point. 0 est un point fixe.
$ \bullet $On peut faire opérer $ G$ sur ses sous-groupes par conjugaison, avec $ g.H=gHg^{-1}$. Le stabilisateur d'un point (c'est à dire d'un sous-groupe) est alors le normalisateur de ce point (ie de ce sous-groupe).
$ \bullet $Si $ X$ est un espace topologique et est un $ G$-ensemble tel que pour tout $ g \in G$ l'application $ y\mapsto g.y$ est un homéomorphisme, alors on dit que $ G$ agit sur $ X$ par homéomorphismes. La topologie quotient pour la relation d'équivalence "être dans la même orbite" vérifie des propriétés intéressantes (voir proposition [*] et théorème [*]).

Proposition Un $ G$-ensemble homogène est isomorphe à un quotient $ G/H$ de $ G$ pour l'action de $ G$ sur $ G/H$ par translation à gauche.

Pour bien voir l'intérêt de cette remarque, il faut se rappeler que tout $ G$-ensemble est partitionné naturellement en orbites, qui sont des $ G$-ensembles homogènes, et que donc on peut identifier à des actions par translation d'un groupe sur un groupe quotient.

Proposition [Sur l'ensemble des points fixes] Etant donnés $ G$ un $ p$-groupe et $ X$ un ensemble sur lequel agit $ G$, le cardinal de l'ensemble des points fixes de $ X$ pour $ G$ est congru au cardinal de $ X$ modulo $ p$.

Démonstration: Le cardinal des orbites divise le cardinal de $ G$, donc le cardinal de l'union des orbites est congru au nombre d'orbites de cardinal $ 1$ modulo $ p$. Le cardinal de l'union des orbites est le cardinal de $ X$.$ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Produits monter: Théorie des groupes précédent: Le théorème de Lagrange   Index
C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page