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Produit direct

Définition [Produit direct de deux groupes] On appelle produit direct de deux groupes $ N$ et $ H$ et on note $ N \times H$ le produit cartésien des groupes $ N$ et $ H$ muni du produit terme à terme

$\displaystyle (n,h).(n',h')=(nn',hh')$

La fonction $ p_2$ qui à $ (n,h)$ associe $ h$ est appelée projection de $ N \times H$ sur $ H$.

La fonction $ p_1$ qui à $ (n,h)$ associe $ n$ est appelée projection de $ N \times H$ sur $ N$.

On définit alors la généralisation à un produit d'un nombre quelconque de groupes par $ \Pi_{i\in I} G_i$. La loi

$\displaystyle (g_i)_{i\in I} (h_i)_{i\in I}= (g_ih_i)_{i\in I}$

muni le produit d'une structure de groupe; on appelle ce groupe le groupe produit.

On définit aussi le produit restreint des $ G_i$ comme étant le sous-groupe du produit des $ G_i$ des éléments $ (g_i)_{i\in I}$ ne comportant qu'un nombre fini de $ g_i$ différents de l'élément neutre. S'il s'agit d'un produit d'un nombre fini de groupes il est clair que le produit restreint est égal au produit.

Propriétés:
$ \bullet $$ p$ est surjective, c'est un morphisme surjectif, son noyau est distingué et isomorphe à $ N$. On a une suite exacte

$\displaystyle {\atop 1 \rightarrow N }{i \atop \rightarrow}{\atop N \times H}{p \atop \rightarrow }{\atop H \rightarrow 1}$

avec $ i(n)=(n,1)$.
$ \bullet $ $ N \times \{1\}$ est le noyau de $ p$, il est distingué; et $ \{1\} \times H$ est distingué aussi.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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