Définition [Produit semi-direct]
Etant donnés deux groupes et , et un morphisme
de groupe de dans l'ensemble des automorphismes de ;
alors on appelle produit semi-direct de et relativement à
et on note le produit cartésien
muni
de la loi
.
On notera que formellement il faudrait préciser
.
PropositionLe produit semi-direct
a une structure de groupe
On a une suite exacte
avec
et .
, c'est à dire
est distingué, mais pas
(contrairement au cas du produit direct).
Démonstration:Vérification facile.
Remarque importante:
En identifiant et
d'une part, et
d'autre part,
on constate qu'un produit semi-direct peut toujours s'écrire comme produit semi-direct de deux sous-groupes lié au morphisme de dans défini par
.
et 
, et un morphisme
de groupe 
de 
le produit cartésien
muni
de la loi
.
.
Le produit semi-direct
et 
.
, c'est à dire
est distingué
(contrairement au cas du produit direct
Remarque importante:
d'autre part,
on constate qu'un produit semi-direct peut toujours s'écrire comme produit semi-direct de deux sous-groupes lié au morphisme 
dans 
défini par
.
