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Produit semi-direct

Définition [Produit semi-direct] Etant donnés deux groupes $ N$ et $ H$, et un morphisme de groupe $ \phi$ de $ H$ dans l'ensemble des automorphismes de $ N$; alors on appelle produit semi-direct de $ N$ et $ H$ relativement à $ \phi$ et on note $ N \rtimes H$ le produit cartésien $ N \times H$ muni de la loi $ (n,h).(n',h')=(n.\phi(h)(n'),hh')$.

On notera que formellement il faudrait préciser $ N \rtimes_\phi H$.

Proposition $ \bullet $Le produit semi-direct $ N \rtimes H$ a une structure de groupe
$ \bullet $On a une suite exacte

$\displaystyle {\atop 1 \rightarrow N}{i \atop \rightarrow}{\atop N \rtimes H}{s \atop \rightarrow}{\atop H \rightarrow 1}$

avec $ i(n)=(n,1)$ et $ s(n,h)=h$.
$ \bullet $$ i(N)$, c'est à dire $ N \times \{1\}$ est distingué, mais pas $ \{1_N\}\times H$ (contrairement au cas du produit direct).

Démonstration: Vérification facile.$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque Remarque importante:
En identifiant $ N$ et $ N \times \{1\}$ d'une part, $ H$ et $ \{1\} \times H$ d'autre part, on constate qu'un produit semi-direct peut toujours s'écrire comme produit semi-direct de deux sous-groupes lié au morphisme $ \phi$ de $ G$ dans $ Aut(N)$ défini par $ (\phi(h))(n)=hnh^{-1}$.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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