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Produit semi-direct

Définition [Produit semi-direct] Etant donnés deux groupes et , et un morphisme de groupe $\phi$ de dans l'ensemble des automorphismes de ; alors on appelle produit semi-direct de et relativement à $\phi$ et on note $N \rtimes H$ le produit cartésien $N \times H$ muni de la loi $(n,h).(n',h')=(n.\phi(h)(n'),hh')$ .

On notera que formellement il faudrait préciser $N \rtimes_\phi H$ .

Proposition $\bullet$ Le produit semi-direct $N \rtimes H$ a une structure de groupe
$\bullet$ On a une suite exacte

$\displaystyle {\atop 1 \rightarrow N}{i \atop \rightarrow}{\atop N \rtimes H}{s \atop \rightarrow}{\atop H \rightarrow 1}$

avec

.
$\bullet$

, c'est à dire $N \times \{1\}$ est distingué

, mais pas $\{1_N\}\times H$ (contrairement au cas du produit direct

Démonstration: Vérification facile. $\sqcap$ $\sqcup$

Remarque importante:
En identifiant et $N \times \{1\}$ d'une part, et $\{1\} \times H$ d'autre part, on constate qu'un produit semi-direct peut toujours s'écrire comme produit semi-direct de deux sous-groupes lié au morphisme $\phi$ de dans défini par $(\phi(h))(n)=hnh^{-1}$ .