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Identifier un produit direct ou semi-direct

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$\boxcircle$ Identification d'un produit semi-direct
$\boxcircle$ Identification d'un produit direct

Identifier un produit direct ou semi-direct

Cette partie est fondamentale pour ramener l'étude d'un groupe à l'étude de groupes plus petits (tâche fondamentale en théorie des groupes!).

$\boxcircle$ Identification d'un produit semi-direct

Proposition [Décomposition en produit semi-direct] Si on a une suite exacte

$\displaystyle {\atop 1 \rightarrow N}{i \atop \rightarrow}{\atop G}{s \atop \rightarrow}{\atop H \rightarrow 1}$

(c'est à dire si

est injective, si

est surjective, et si

) et si on a un sous-groupe $\overline H$ de

sur lequel la restriction de

est un isomorphisme vers

^1.3, alors

est isomorphe à $i(N) \rtimes \overline H$ relativement à la loi de l'automorphisme intérieur (voir la remarque de

).
On peut donc aussi dire que

est isomorphe à $N \rtimes H$ ,

étant un isomorphisme de

sur $\overline N$ , et

étant un isomorphisme de $\overline H$ sur

Démonstration: On considère $\overline N$ l'image de , et $\overline H$ le sous-groupe de sur lequel la restriction de est un isomorphisme vers .
Puisque $\overline N = Ker s$ , $\overline N \vartriangleleft\shortmid G$ (un noyau de morphisme de groupe est toujours distingué).Il est clair que:
$\bullet$ $\overline N \cap \overline H = \{1\}$
$\bullet$ $G=\overline N.\overline H$
Le premier point est évident, du fait que est un isomorphisme depuis $\overline H$ , et a donc un noyau nul.
Pour le deuxième point, soit $g \in G$ , alors avec $h \in H$ , et $s(g.h^{-1})=s(g).s(h)^{-1}=1$ , donc $g.h^{-1} \in N$ . L'écriture d'un élément de comme produit d'un élément de par un élément de est unique (facile, au vu de $\overline N \cap \overline H = \{1\}$ ); est donc ainsi en bijection avec $\overline N \times \overline H$ , par $\phi(nh)=(n,h)$ . On cherche maintenant à établir une loi sur $\overline N \times \overline H$ telle que cette bijection soit un isomorphisme.
Le produit de par est , que l'on doit donc exprimer comme un produit d'un élément de $\overline N$ par un élément de $\overline H$ ; on peut réécrire sous la forme $n.(h.n'.h^{-1}).h.h'$ ; puisque est distingué, il s'agit bien du produit de $n.h.n'.h^{-1}$ (élément de $\overline N$ ) par (élément de $\overline H$ ).
On vérifie facilement que la loi $(n,h).(n',h')=(n.(h.n'.h^{-1}),h.h')$ fait de cette bijection un morphisme. $\sqcap$ $\sqcup$

Remarque importante : L'hypothèse revient exactement à avoir une extension scindée, c'est à dire une extension munie d'un relèvement (voir ).

Proposition Si est un groupe, si et sont des sous-groupes de , si $N \vartriangleleft\shortmid G$ , si $N \cap H = \{ 1 \}$ et si , alors $G \simeq N \rtimes H$ .

Démonstration: Il suffit de reprendre la preuve ci-dessus. $\sqcap$ $\sqcup$

$\boxcircle$ Identification d'un produit direct

En fait un produit direct est un cas particulier de produit semi-direct.
En reprenant les notations de la définition du produit semi-direct et des démonstrations ci-dessus, on a équivalences entre les assertions suivantes:
$\bullet$ $\phi(h)=Id_N$ pour tout
$\bullet$ $\overline H$ est distingué
$\bullet$ la loi de groupe sur $N \rtimes H$ est celle du produit direct

On peut aussi raisonner sur les suites exactes. Lorsque l'on a une suite exacte avec relèvement, i.e. avec une section, i.e. si l'extension est scindée, ET si $\forall (n,h) \in N \times H nh=hn$ .