Proposition [Décomposition en produit semi-direct]
Si on a une suite exacte
(c'est à dire si est injective, si est surjective, et si
)
et si on a un sous-groupe
de sur lequel la restriction de est un isomorphisme vers 1.3, alors est isomorphe à
relativement à la loi de l'automorphisme intérieur (voir la remarque de ).
On peut donc aussi dire que est isomorphe à
, étant un isomorphisme de sur
, et étant un isomorphisme de
sur .
Démonstration:On considère
l'image de , et
le sous-groupe de sur lequel
la restriction de est un isomorphisme vers .
Puisque
,
(un noyau de morphisme de groupe est toujours distingué).Il est clair que:
Le premier point est évident, du fait que est un isomorphisme depuis
, et a donc un noyau nul.
Pour le deuxième point, soit , alors avec ,
et
, donc
.
L'écriture d'un élément de comme produit d'un élément de par un élément de est unique (facile, au vu de
); est donc ainsi en bijection avec
, par
. On cherche maintenant à établir une loi sur
telle que cette bijection soit un isomorphisme.
Le produit de par est , que l'on doit donc exprimer comme un produit d'un élément de
par un élément de
; on peut réécrire sous la forme
; puisque est distingué, il s'agit bien du produit de
(élément de
) par (élément de
).
On vérifie facilement que la loi
fait de cette bijection un morphisme.
Remarque importante : L'hypothèse revient exactement à avoir une extension scindée, c'est à dire une extension munie d'un relèvement (voir ).
Proposition
Si est un groupe, si et sont des sous-groupes de , si
, si
et si , alors
.
Démonstration:Il suffit de reprendre la preuve ci-dessus.
En fait un produit direct est un cas particulier de produit semi-direct.
En reprenant les notations de la définition du produit semi-direct et des
démonstrations ci-dessus, on a équivalences entre les assertions suivantes:
pour tout est distingué
la loi de groupe sur
est celle du produit direct
On peut aussi raisonner sur les suites exactes. Lorsque l'on a une suite
exacte avec relèvement, i.e. avec une section, i.e. si l'extension est
scindée, ET si
.