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Identifier un produit direct ou semi-direct

Cette partie est fondamentale pour ramener l'étude d'un groupe à l'étude de groupes plus petits (tâche fondamentale en théorie des groupes!).

$ \boxcircle$ Identification d'un produit semi-direct

Proposition [Décomposition en produit semi-direct] Si on a une suite exacte

$\displaystyle {\atop 1 \rightarrow N}{i \atop \rightarrow}{\atop G}{s \atop \rightarrow}{\atop H \rightarrow 1}$

(c'est à dire si $ i$ est injective, si $ s$ est surjective, et si $ Ker s = Im i$) et si on a un sous-groupe $ \overline H$ de $ G$ sur lequel la restriction de $ s$ est un isomorphisme vers $ H$ 1.3, alors $ G$ est isomorphe à $ i(N) \rtimes \overline H$ relativement à la loi de l'automorphisme intérieur (voir la remarque de [*]).
On peut donc aussi dire que $ G$ est isomorphe à $ N \rtimes H$, $ i$ étant un isomorphisme de $ N$ sur $ \overline N$, et $ s$ étant un isomorphisme de $ \overline H$ sur $ H$.

Démonstration: On considère $ \overline N$ l'image de $ i$, et $ \overline H$ le sous-groupe de $ G$ sur lequel la restriction de $ s$ est un isomorphisme vers $ H$.
Puisque $ \overline N = Ker s$, $ \overline N \vartriangleleft\shortmid G$ (un noyau de morphisme de groupe est toujours distingué).Il est clair que:
$ \bullet $ $ \overline N \cap \overline H = \{1\}$
$ \bullet $ $ G=\overline N.\overline H$
Le premier point est évident, du fait que $ s$ est un isomorphisme depuis $ \overline H$, et a donc un noyau nul.
Pour le deuxième point, soit $ g \in G$, alors $ s(g)=s(h)$ avec $ h \in H$, et $ s(g.h^{-1})=s(g).s(h)^{-1}=1$, donc $ g.h^{-1} \in N$. L'écriture d'un élément de $ G$ comme produit d'un élément de $ N$ par un élément de $ H$ est unique (facile, au vu de $ \overline N \cap \overline H = \{1\}$); $ G$ est donc ainsi en bijection avec $ \overline N \times \overline H$, par $ \phi(nh)=(n,h)$. On cherche maintenant à établir une loi sur $ \overline N \times \overline H$ telle que cette bijection soit un isomorphisme.
Le produit de $ n.h$ par $ n'h'$ est $ n.h.n'h'$, que l'on doit donc exprimer comme un produit d'un élément de $ \overline N$ par un élément de $ \overline H$; on peut réécrire $ n.h.n'.h'$ sous la forme $ n.(h.n'.h^{-1}).h.h'$; puisque $ N$ est distingué, il s'agit bien du produit de $ n.h.n'.h^{-1}$ (élément de $ \overline N$) par $ h.h'$ (élément de $ \overline H$).
On vérifie facilement que la loi $ (n,h).(n',h')=(n.(h.n'.h^{-1}),h.h')$ fait de cette bijection un morphisme.$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque Remarque importante : L'hypothèse revient exactement à avoir une extension scindée, c'est à dire une extension munie d'un relèvement (voir [*]).

Proposition Si $ G$ est un groupe, si $ N$ et $ H$ sont des sous-groupes de $ G$, si $ N \vartriangleleft\shortmid G$, si $ N \cap H = \{ 1 \}$ et si $ G=N.H$, alors $ G \simeq N \rtimes H$.

Démonstration: Il suffit de reprendre la preuve ci-dessus.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ Identification d'un produit direct

En fait un produit direct est un cas particulier de produit semi-direct.
En reprenant les notations de la définition du produit semi-direct et des démonstrations ci-dessus, on a équivalences entre les assertions suivantes:
$ \bullet $ $ \phi(h)=Id_N$ pour tout $ h$
$ \bullet $ $ \overline H$ est distingué
$ \bullet $la loi de groupe sur $ N \rtimes H$ est celle du produit direct

On peut aussi raisonner sur les suites exactes. Lorsque l'on a une suite exacte avec relèvement, i.e. avec une section, i.e. si l'extension est scindée, ET si $ \forall (n,h) \in N \times H  nh=hn$.



Notes

...\space 1.3
C'est-à-dire un relèvement, une section, voir la partie [*]

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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