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Théorèmes de Sylow. Groupes de Sylow

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Théorèmes de Sylow. Groupes de Sylow

Les deux théorèmes de Sylow sont extraits du classique [14].

Définition On appelle -sous-groupe de Sylow ou plus simplement -Sylow d'un groupe de cardinal , un sous-groupe de d'ordre avec premier divisant et et $p \not \vert m$ .

Proposition Un sous-groupe de est un -sous-groupe de Sylow de si:
$\bullet$ est un -groupe
$\bullet$ est premier à .

Démonstration: Pas difficile, y'a qu'à l'écrire. $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Théorème de Sylow] étant un groupe fini, et un nombre premier divisant l'ordre de , alors admet au moins un -sous-groupe de Sylow.

Démonstration: On va procéder par étapes.
$\bullet$ Tout d'abord un cas particulier: $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps fini puisque est premier, et $GL(n,\mathbb{Z}/p.\mathbb{Z})$ est d'ordre $\Pi_{i=0}^{n-1} (p^n-p^i)$ , comme on peut s'en convaincre en comptant les bases de $(\mathbb{Z}/p.\mathbb{Z})^n$ . Le cardinal de ce groupe est donc $m.p^{n.(n-1)/2}$ , avec $p \not \vert m$ . Un -Sylow de ce groupe est alors l'ensemble des matrices de la forme

$\displaystyle {n\mbox{ lignes}} \underbrace{\left\{\left( \begin{array}{cccccc... ...* \ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\right.}_{n\mbox{ colonnes}}$

$\bullet$ On a maintenant besoin d'un lemme:

Lemme Soit un groupe d'ordre $p^\alpha .m$ , avec $p \not \vert m$ et premier, et soit un sous-groupe de et un -Sylow de . Alors il existe $a \in G$ tel que $a.S.a^{-1} \cap H$ soit un -sylow de .

Démonstration: opère sur par translation à gauche (voir ); le stabilisateur d'un élément est $g.S.g^{-1}$ .
D'autre part opère sur par translation à gauche aussi; le stabilisateur d'un élément est $g.S.g^{-1}\cap H$ .
Il est clair que tout $a.S.a^{-1}$ est bien un -groupe, il reste à en trouver un qui soit bien un -Sylow. Il suffit pour cela que le quotient du cardinal de par le cardinal de $H\cap a.S.a^{-1}$ soit premier avec ; donc il suffit que le cardinal de $H/(H \cap a.S.a^{-1})$ soit premier avec .
Or ce cardinal est en fait le cardinal de l'orbite de dans sous l'action de ; or toutes ces orbites ne peuvent être de cardinal un multiple de , sinon le cardinal de serait un multiple de , ce qui contredirait le fait que est un -Sylow.
Ce lemme est donc prouvé. $\sqcap$ $\sqcup$
$\bullet$ Maintenant on peut s'attaquer au cas général; soit un groupe vérifiant les hypothèses; est isomorphe à un sous-groupe de $\sigma _n$ par le théorème de Cayley (voir ). A son tour, $\sigma _n$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL(n,\mathbb{Z}/p.\mathbb{Z})$ (on considère la base canonique $(e_i)_{i\in [1,n]}$ de $(\mathbb{Z}/p.\mathbb{Z})^n$ , et l'application qui à $\sigma$ dans $\sigma _n$ associe l'application linéaire qui à associe $\sigma (e_i)$ .
Par le premier point, ce groupe admet un -Sylow; et par le deuxième point, un sous-groupe d'un groupe admettant un -Sylow admet un -Sylow. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Si un est groupe de cardinal avec $p \not \vert m$ et premier, alors possède des sous-groupes d'ordre pour tout $q\leq r$ .

Démonstration: contient un -Sylow, donc un sous-groupe de cardinal . On peut donc se ramener au cas des -groupes. Le centre d'un -groupe est non trivial, comme on le montre en . On considère donc un -groupe, et son centre, de cardinal . En appliquant l'hypothèse de récurrence à , on a bien des groupes d'ordre , pour $q\leq r$ . On considère maintenant le groupe-quotient de par , il est de cardinal $p^{r-q}$ , on peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence et y trouver un groupe de cardinal pour $t \leq r-q$ . En considérant l'image inverse par la projection canonique sur le groupe quotient, on obtient alors un groupe de cardinal $p^{t + q}$ , pour $t \leq r-q$ , donc pour tout cardinal avec $q \leq u \leq r$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Deuxième théorème de Sylow] Etant donné un groupe, de cardinal $\vert G\vert=p^r.m$ , avec $p \not \vert m$ .
$\bullet$ Tout -groupe inclus dans est inclus dans un -Sylow de .
$\bullet$ Les -Sylow sont tous conjugués
$\bullet$ Les -Sylow forment une orbite de sous l'action de par automorphisme intérieur
$\bullet$ Un -Sylow est distingué si et seulement si il est l'unique -Sylow
$\bullet$ Le nombre de -Sylow est congru à modulo et divise $\vert G\vert$
$\bullet$ Le nombre de -Sylow divise
Démonstration:
$\bullet$ Démonstration de l'affirmation "Tout -groupe inclus dans est inclus dans un -Sylow de ":
Supposons un -groupe de . Soit un -Sylow de , dont l'existence est donnée par le premier théorème de Sylow. D'après le lemme , il existe dans tel que $a.S.a^{-1} \cap H$ soit un -Sylow de .
étant un -groupe, est nécéssairement égal à $a.S.a^{-1} \cap H$ . Donc est bien inclus dans un Sylow.
$\bullet$ Pour montrer l'affirmation "Les -Sylow sont tous conjugués", il suffit de faire le même raisonnement avec un -Sylow.
$\bullet$ Démonstration de l'affirmation "Les -Sylow forment une orbite de sous l'action de par automorphisme intérieur":
On a vu que les -Sylow étaient tous conjugués; si un autre élément leur est conjugué, c'est aussi un -Sylow; le résultat est donc en fait complètement évident.
$\bullet$ Démonstration de l'affirmation "Un -Sylow est distingué si et seulement si il est l'unique -Sylow":
Si un -Sylow est distingué et s'il n'est pas unique alors il est conjugué à l'autre... donc il n'est pas distingué.
Réciproquement si il est unique, alors s'il n'est pas distingué, alors il est conjugué à un autre -Sylow - donc il n'est pas unique.
$\bullet$ Démonstration de l'affirmation "Le nombre de -Sylow est congru à modulo et divise $\vert G\vert$ ":
On rappelle que la proposition affirme que le nombre de points fixes d'un ensemble sous l'action d'un -groupe est congru au cardinal de modulo .
Il suffit alors de considérer l'ensemble des -Sylow; on peut faire agir dessus un -Sylow quelconque par conjugaison. Le nombre de -Sylow est donc congru au nombre de points fixes de l'ensemble des -Sylow sous l'action de modulo . Il reste donc à montrer qu'il y a un unique point fixe. L'existence d'un point fixe est évidente, il s'agit de lui-même. Supposons que soit un autre point fixe, est donc un -Sylow tel que pour tout dans , $sTs^{-1} =T$ . On considère le groupe engendré par et , et sont des -Sylow de ce groupe. Dans ce groupe toujours, est distingué; donc il est l'unique -Sylow, donc il est égal à . D'où le résultat.
$\bullet$ Démonstration de l'affirmation "Le nombre de -Sylow divise ":
Le nombre de -Sylow est le cardinal d'une orbite, donc il divise le cardinal de , or il est congru à modulo , donc il divise . $\sqcap$ $\sqcup$