Les deux théorèmes de Sylow sont extraits du classique [14].
Définition
On appelle -sous-groupe de Sylow ou plus simplement -Sylow d'un groupe de cardinal , un sous-groupe de
d'ordre avec premier divisant et et
.
Proposition
Un sous-groupe de est un -sous-groupe de Sylow de si:
est un -groupe est premier à .
Démonstration:Pas difficile, y'a qu'à l'écrire.
Théorème [Théorème de Sylow] étant un groupe fini, et un nombre premier divisant l'ordre de , alors admet
au moins un -sous-groupe de Sylow.
Démonstration:On va procéder par étapes.
Tout d'abord un cas particulier:
est un corps fini puisque est premier, et
est d'ordre
, comme on peut s'en convaincre en comptant les bases de
. Le cardinal de ce groupe est donc
, avec . Un -Sylow de ce groupe est alors l'ensemble des matrices de la forme
On a maintenant besoin d'un lemme:
Lemme
Soit un groupe d'ordre
, avec et premier, et soit un sous-groupe de et un -Sylow de . Alors il existe tel que
soit un -sylow de .
Démonstration: opère sur par translation à gauche (voir ); le stabilisateur d'un élément est
.
D'autre part opère sur par translation à gauche aussi; le stabilisateur d'un élément est
.
Il est clair que tout
est bien un -groupe, il reste à en trouver un qui soit bien un -Sylow. Il suffit pour cela que le quotient
du cardinal de par le cardinal de
soit premier avec ; donc il suffit que le cardinal de
soit premier avec .
Or ce cardinal est en fait le cardinal de l'orbite de dans sous l'action de ; or toutes ces orbites ne peuvent être de cardinal
un multiple de , sinon le cardinal de serait un multiple de , ce qui contredirait le fait que est un -Sylow.
Ce lemme est donc prouvé. Maintenant on peut s'attaquer au cas général; soit un groupe vérifiant les hypothèses; est isomorphe à un sous-groupe de par le théorème de Cayley (voir ). A son tour, est isomorphe à un sous-groupe de
(on considère la base canonique
de
, et l'application qui à dans associe l'application linéaire qui à associe
.
Par le premier point, ce groupe admet un -Sylow; et par le deuxième point, un sous-groupe d'un groupe admettant un -Sylow admet un -Sylow.
Corollaire
Si un est groupe de cardinal avec et premier, alors possède des sous-groupes d'ordre pour tout .
Démonstration: contient un -Sylow, donc un sous-groupe de cardinal . On peut donc se ramener au cas des -groupes.
Le centre d'un -groupe est non trivial, comme on le montre en . On considère donc un -groupe,
et son centre, de cardinal . En appliquant l'hypothèse de récurrence à , on a bien des groupes
d'ordre , pour . On considère maintenant le groupe-quotient de par , il est de
cardinal , on peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence et y trouver un groupe de
cardinal pour
. En considérant l'image inverse par la projection canonique sur le
groupe quotient, on obtient alors un groupe de cardinal , pour
, donc
pour tout cardinal avec
.
Théorème [Deuxième théorème de Sylow]
Etant donné un groupe, de cardinal , avec
.
Tout -groupe inclus dans est inclus dans un -Sylow de .
Les -Sylow sont tous conjugués Les -Sylow forment une orbite de sous l'action de par automorphisme intérieur
Un -Sylow est distingué si et seulement si il est l'unique -Sylow
Le nombre de -Sylow est congru à modulo et divise Le nombre de -Sylow divise Démonstration: Démonstration de l'affirmation "Tout -groupe inclus dans est inclus dans un -Sylow de ":
Supposons un -groupe de . Soit un -Sylow de ,
dont l'existence est donnée par le premier théorème de Sylow. D'après le
lemme , il existe
dans tel que
soit un -Sylow de .
étant un -groupe, est nécéssairement égal à
.
Donc est bien inclus dans un Sylow.
Pour montrer l'affirmation "Les -Sylow sont tous conjugués", il suffit de faire le même
raisonnement avec un -Sylow.
Démonstration de l'affirmation "Les -Sylow forment une orbite de sous l'action de par automorphisme intérieur":
On a vu que les -Sylow étaient tous conjugués; si un autre élément leur est conjugué, c'est aussi un -Sylow; le
résultat est donc en fait complètement évident.
Démonstration de l'affirmation "Un -Sylow est distingué si et seulement si il est l'unique -Sylow":
Si un -Sylow est distingué et s'il n'est pas unique alors il est conjugué à l'autre... donc il n'est pas distingué.
Réciproquement si il est unique, alors s'il n'est pas distingué, alors il est conjugué à un autre -Sylow - donc
il n'est pas unique.
Démonstration de l'affirmation "Le nombre de -Sylow est congru à modulo et divise ":
On rappelle que la proposition affirme que le nombre de points fixes d'un ensemble sous l'action
d'un -groupe est congru au cardinal de modulo .
Il suffit alors de considérer l'ensemble des -Sylow; on peut faire agir dessus un -Sylow quelconque par conjugaison. Le nombre
de -Sylow est donc congru au nombre de points fixes de l'ensemble des -Sylow sous l'action de modulo .
Il reste donc à montrer qu'il y a un unique point fixe. L'existence d'un point fixe est évidente, il s'agit de
lui-même. Supposons que soit un autre point fixe, est donc un -Sylow tel que pour tout dans ,
. On considère le groupe engendré par et , et sont des -Sylow de ce groupe. Dans ce
groupe toujours, est distingué; donc il est l'unique -Sylow, donc il est égal à . D'où le résultat.
Démonstration de l'affirmation "Le nombre de -Sylow divise ":
Le nombre de -Sylow est le cardinal d'une orbite, donc il divise le cardinal de , or il est congru
à modulo , donc il divise .