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Groupes abéliens

On rappelle qu'un groupe abélien est un groupe commutatif.

Proposition

Un groupe abélien $ G$ est de type fini si et seulement si il existe un homomorphisme surjectif de $ \mathbb{Z}^n$ sur $ G$ pour un certain $ n$, c'est-à-dire s'il est isomorphe à un quotient de $ \mathbb{Z}^n$ par un de ses sous-groupes1.4.

Plus précisément, $ G$ est alors engendré par $ n$ éléments, si $ n$ est minimal.

Application(s)... Cela nous servira pour la proposition [*].

Démonstration: En effet, supposons que $ G$ est finiment engendré, par $ g_1,...,g_n$. Considérons alors l'application de $ \mathbb{Z}^n$ dans $ G$ définie par $ (p_1,...,p_n) \mapsto p_1.g_1+...+p_n.g_n$. Puisque $ G$ est engendré par les $ g_i$ ET $ G$ est commutatif, cette application est surjective. Il est clair que c'est un morphisme puisque $ G$ est commutatif. Donc $ G$ est isomorphe au quotient de $ \mathbb{Z}^n$ par le noyau de ce morphisme, d'où le résultat.

Réciproquement, supposons que l'on ait un morphisme surjectif de $ \mathbb{Z}^n$ sur $ G$; alors il est égal à l'homomorphisme $ (p_1,...,p_n) \mapsto p_1.g_1+...+p_n.g_n$, avec $ g_i$ l'image de $ ({0,...,0}_{i-1 \mbox{fois}},1,0,...,0)$ (voir la remarque de la partie [*]). Il est donc clair que $ G$ est engendré par les $ g_i$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Somme] Soit $ (A_i)_{i\in I}$ une famille de groupes abéliens. On note $ \bigoplus_{i \in I} A_i$ l'ensemble des familles $ (x_i)_{i \in I}$ avec $ x_i \in A_i$ et les $ x_i$ presque tous nuls; c'est un groupe abélien pour l'addition terme à terme; on l'appelle somme des groupes $ A_i$.
Si $ i_0 \in I$, on identifie $ A_{i_0}$ à l'ensemble des $ (x_i)_{i \in I}$ tels que $ i \neq i_0$ $ \rightarrow$$ x_i=0$.
Si $ \forall i  A_i=A$ alors on note $ A^{(I)}=\bigoplus_{i \in I} A_i$.

Proposition [Propriété universelle des groupes abéliens] Etant donnée une famille $ (A_i)_{i\in I}$ de groupes abéliens, $ A'$ un groupe abélien, $ \phi_i$ un homomorphisme de $ A_i$ sur $ A'$, alors il existe un unique homomorphisme de $ \bigoplus A_i$ vers $ A'$ tel que la restriction de cet homomorphisme à $ A_i$ soit $ \phi_i$.

Démonstration: Considérer $ \phi(x)=\sum_i \phi_i(x_i)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Somme directe] $ A$ étant un groupe abélien, les $ A_i$ étant des sous-groupes de $ A$, alors:
$ \bullet $les $ A_i$ sont dits en somme directe si l'application canonique de $ \bigoplus A_i$ dans $ A$ qui à $ (x_i)_{i \in I}$ associe $ \sum_i x_i$ est injective. On identifie alors son image avec $ \bigoplus_{i \in I} A_i$.
$ \bullet $On dit que $ A$ est somme directe des $ A_i$ si l'application est bijective. On note alors (abusivement) $ A=\bigoplus_{i\in I} A_i$.

Proposition $ A$ abélien, $ (A_i)$ famille de sous-groupes, alors les $ A_i$ sont en somme directe si $ \sum_i x_i=0$ avec $ x_i \in A_i$ (support fini) implique $ \forall i x_i=0$.

Définition [Groupe de torsion]

Un élément d'un groupe est dit élément de torsion s'il est d'ordre fini.

Un groupe abélien est dit de torsion si tous ses éléments sont d'ordre fini.

Etant donné $ p$ un nombre premier, un groupe abélien est dit de $ p$-torsion si tous ses éléments sont d'ordre une puissance de $ p$.

Un groupe abélien est dit libre s'il est isomorphe à $ \mathbb{Z}^n$ pour un certain $ n\in \mathbb{N}$.

On appelle sous-groupe de torsion d'un groupe abélien $ G$ le sous-groupe constitué par les éléments de torsion1.5.

Proposition

Un groupe de torsion1.6 et de type fini est fini.


Démonstration: En effet, si $ G$ est de type fini et abélien, alors c'est un quotient de $ \mathbb{Z}^n$, par la proposition [*].

On considère alors $ ppcm$ le ppcm des ordres des $ n$ générateurs donnés par la proposition [*]. L'ordre de tout élément est alors un diviseur de $ ppcm$. L'homomorphisme surjectif de $ \mathbb{Z}^n$ dans son quotient a pour noyau un ensemble contenant $ (k\mathbb{Z})^n$. Donc il se factorise à travers $ (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n$ (voir le théorème [*]). Donc le groupe $ G$ est de cardinal plus petit que $ k^n$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Les deux théorèmes ci-dessous sont donnés sans démonstration (laissées aux lecteurs pour exercice!).

Théorème

$ \bullet $Tout groupe abélien sans torsion de type fini est libre.

$ \bullet $Tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.

$ \bullet $Deux groupes libres $ \mathbb{Z}^n$ et $ \mathbb{Z}^p$ sont isomorphes si et seulement si $ n=p$.

$ \bullet $Tout groupe abélien de type fini est produit d'un groupe libre et d'un groupe de torsion. Cette décomposition est unique à isomorphisme près.

Théorème

Tout groupe abélien fini $ G$ s'exprime de manière unique sous la forme

$\displaystyle \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z}\times \dots \times \mathbb{Z}/a_n\mathbb{Z}$

avec $ \forall i\in[1,n-1] a_i\vert a_{i+1}$, et $ a_1>1$. Les $ a_i$ sont appelés facteurs invariants du groupe.

La décomposition ainsi obtenue est appelée décomposition cyclique du groupe $ G$.

Cette décomposition a de nombreuses conséquences :

Corollaire Soit $ G$ un groupe abélien fini; il existe un élément d'ordre le ppcm des ordres des éléments du groupe.

Démonstration:

$ \bullet $Soit $ G$ un groupe abélien fini.

$ \bullet $La décomposition cyclique nous permet d'écrire $ G$ sous la forme

$\displaystyle \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z}\times \dots \times \mathbb{Z}/a_n\mathbb{Z}$

$ \bullet $On considère un élément $ x=(x_1,\dots,x_n)$ de ce produit.

$ \bullet $L'ordre de $ x$ est le ppcm des ordres des $ x_i$; or l'ordre de $ x_i$ divise $ a_i$, qui lui-même divise $ a_n$.

$ \bullet $Le ppcm des ordres est donc en fait un diviseur de $ a_n$, donc c'est $ a_n$ lui-même.

$ \bullet $L'élément $ (0,\dots,0,1)$ convient donc (on peut remplacer $ 1$ par n'importe quel générateur de $ \mathbb{Z}/a_n\mathbb{Z}$).$ \sqcap$$ \sqcup$

Autre conséquence:

Corollaire Soit $ G$ un groupe abélien fini. Pour tout diviseur $ d$ de $ Card(G)$, il existe un sous-groupe $ H$ de $ G$ d'ordre $ d$.

Démonstration:

$ \bullet $On écrit $ G$ sous forme:

$\displaystyle \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z}\times \dots \times \mathbb{Z}/a_n\mathbb{Z}$

$ \bullet $Décomposons $ d$ en facteurs premiers:

$\displaystyle d=\Pi_{i=1}^m p_i$

$ \bullet $Définissons:

$\displaystyle d_1=pgcd(d,a_1)$

$\displaystyle d_2=pgcd(\frac d{d_1},a_2)$

$\displaystyle d_3=pgcd(\frac d{d_1d_2},a_3)$

$\displaystyle \dots$

$\displaystyle d_n=pgcd (\frac d{d_1\dots d_n},a_n)$

$ \bullet $Puisque $ d\vert n$ et $ n=\Pi_{i=1}^n a_i$, on arrive à se "débarasser" de chaque facteur premier de $ d$ dans l'un des $ d_i$, et donc $ \Pi_{i=1}^n d_i=d$.

$ \bullet $Pour tout $ i$, $ d_i$ divise $ a_i$.

$ \bullet $Dans un groupe cyclique, il existe un sous-groupe du cardinal de n'importe quel diviseur de l'ordre du groupe, donc dans $ \mathbb{Z}/(a_i\mathbb{Z})$ il existe un sous-groupe $ H_i$ de cardinal $ d_i$.

$ \bullet $Le produit des $ H_i$ est un sous-groupe de $ G$ de cardinal $ d$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Quelques autres corollaires, sans preuve:

Corollaire Soit $ G$ un groupe abélien fini. Soit $ c=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\dots p_l^{n_l}$ la décomposition de $ c=card(G)$ en facteurs premiers. Alors pour tout $ i\in [1,l]$ il existe un et un seul sous-groupe $ H_i$ de $ G$ de cardinal $ p_i^{n_i}$. En outre, $ G$ est isomorphe au produit des $ H_i$.
Les $ H_i$, uniques, sont appelés les composantes primaires du groupe commutatif $ G$.



Notes

... sous-groupes1.4
Notez qu'il peut s'agir du quotient de $ \mathbb{Z}^n$ par n'importe quel sous-groupe, puisque $ \mathbb{Z}^n$ étant commutatif, tous ses sous-groupes sont distingués
... torsion1.5
On vérifie facilement qu'il s'agit bien d'un sous-groupe.
... torsion1.6
Sous-entendu: abélien (un groupe de torsion est abélien par définition).

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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