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Groupes abéliens

On rappelle qu'un groupe abélien est un groupe commutatif.

Proposition

Un groupe abélien est de type fini si et seulement si il existe un homomorphisme surjectif de $\mathbb{Z}^n$ sur pour un certain , c'est-à-dire s'il est isomorphe à un quotient de $\mathbb{Z}^n$ par un de ses sous-groupes^1.4.

Plus précisément, est alors engendré par éléments, si est minimal.

Cela nous servira pour la proposition .

Démonstration: En effet, supposons que est finiment engendré, par . Considérons alors l'application de $\mathbb{Z}^n$ dans définie par $(p_1,...,p_n) \mapsto p_1.g_1+...+p_n.g_n$ . Puisque est engendré par les ET est commutatif, cette application est surjective. Il est clair que c'est un morphisme puisque est commutatif. Donc est isomorphe au quotient de $\mathbb{Z}^n$ par le noyau de ce morphisme, d'où le résultat.

Réciproquement, supposons que l'on ait un morphisme surjectif de $\mathbb{Z}^n$ sur ; alors il est égal à l'homomorphisme $(p_1,...,p_n) \mapsto p_1.g_1+...+p_n.g_n$ , avec l'image de $({0,...,0}_{i-1 \mbox{fois}},1,0,...,0)$ (voir la remarque de la partie ). Il est donc clair que est engendré par les . $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Somme] Soit $(A_i)_{i\in I}$ une famille de groupes abéliens. On note $\bigoplus_{i \in I} A_i$ l'ensemble des familles $(x_i)_{i \in I}$ avec $x_i \in A_i$ et les presque tous nuls; c'est un groupe abélien pour l'addition terme à terme; on l'appelle somme des groupes .
Si $i_0 \in I$ , on identifie $A_{i_0}$ à l'ensemble des $(x_i)_{i \in I}$ tels que $i \neq i_0$ $\rightarrow$ .
Si $\forall i A_i=A$ alors on note $A^{(I)}=\bigoplus_{i \in I} A_i$ .

Proposition [Propriété universelle des groupes abéliens] Etant donnée une famille $(A_i)_{i\in I}$ de groupes abéliens, un groupe abélien, $\phi_i$ un homomorphisme de sur , alors il existe un unique homomorphisme de $\bigoplus A_i$ vers tel que la restriction de cet homomorphisme à soit $\phi_i$ .

Démonstration: Considérer $\phi(x)=\sum_i \phi_i(x_i)$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Somme directe] étant un groupe abélien, les étant des sous-groupes de , alors:
$\bullet$ les sont dits en somme directe si l'application canonique de $\bigoplus A_i$ dans qui à $(x_i)_{i \in I}$ associe $\sum_i x_i$ est injective. On identifie alors son image avec $\bigoplus_{i \in I} A_i$ .
$\bullet$ On dit que est somme directe des si l'application est bijective. On note alors (abusivement) $A=\bigoplus_{i\in I} A_i$ .

Proposition abélien, famille de sous-groupes, alors les sont en somme directe si $\sum_i x_i=0$ avec $x_i \in A_i$ (support fini) implique $\forall i x_i=0$ .

Définition [Groupe de torsion]

Un élément d'un groupe est dit élément de torsion s'il est d'ordre fini.

Un groupe abélien est dit de torsion si tous ses éléments sont d'ordre fini.

Etant donné un nombre premier, un groupe abélien est dit de -torsion si tous ses éléments sont d'ordre une puissance de .

Un groupe abélien est dit libre s'il est isomorphe à $\mathbb{Z}^n$ pour un certain $n\in \mathbb{N}$ .

On appelle sous-groupe de torsion d'un groupe abélien le sous-groupe constitué par les éléments de torsion^1.5.

Proposition

Un groupe de torsion^1.6 et de type fini est fini.

Démonstration: En effet, si est de type fini et abélien, alors c'est un quotient de $\mathbb{Z}^n$ , par la proposition .

On considère alors le ppcm des ordres des générateurs donnés par la proposition . L'ordre de tout élément est alors un diviseur de . L'homomorphisme surjectif de $\mathbb{Z}^n$ dans son quotient a pour noyau un ensemble contenant $(k\mathbb{Z})^n$ . Donc il se factorise à travers $(\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^n$ (voir le théorème ). Donc le groupe est de cardinal plus petit que . $\sqcap$ $\sqcup$

Les deux théorèmes ci-dessous sont donnés sans démonstration (laissées aux lecteurs pour exercice!).

Théorème

$\bullet$ Tout groupe abélien sans torsion de type fini est libre.

$\bullet$ Tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.

$\bullet$ Deux groupes libres $\mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{Z}^p$ sont isomorphes si et seulement si .

$\bullet$ Tout groupe abélien de type fini est produit d'un groupe libre et d'un groupe de torsion. Cette décomposition est unique à isomorphisme près.

Théorème

Tout groupe abélien fini s'exprime de manière unique sous la forme

$\displaystyle \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z}\times \dots \times \mathbb{Z}/a_n\mathbb{Z}$

avec $\forall i\in[1,n-1] a_i\vert a_{i+1}$ , et

. Les

sont appelés facteurs invariants du groupe.

La décomposition ainsi obtenue est appelée décomposition cyclique du groupe .

Cette décomposition a de nombreuses conséquences :

Corollaire Soit un groupe abélien fini; il existe un élément d'ordre le ppcm des ordres des éléments du groupe.

Démonstration:

$\bullet$ Soit un groupe abélien fini.

$\bullet$ La décomposition cyclique nous permet d'écrire sous la forme

$\displaystyle \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z}\times \dots \times \mathbb{Z}/a_n\mathbb{Z}$

$\bullet$ On considère un élément $x=(x_1,\dots,x_n)$ de ce produit.

$\bullet$ L'ordre de est le ppcm des ordres des ; or l'ordre de divise , qui lui-même divise .

$\bullet$ Le ppcm des ordres est donc en fait un diviseur de , donc c'est lui-même.

$\bullet$ L'élément $(0,\dots,0,1)$ convient donc (on peut remplacer par n'importe quel générateur de $\mathbb{Z}/a_n\mathbb{Z}$ ). $\sqcap$ $\sqcup$

Autre conséquence:

Corollaire Soit un groupe abélien fini. Pour tout diviseur de , il existe un sous-groupe de d'ordre .

Démonstration:

$\bullet$ On écrit sous forme:

$\displaystyle \mathbb{Z}/a_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/a_2\mathbb{Z}\times \dots \times \mathbb{Z}/a_n\mathbb{Z}$

$\bullet$ Décomposons en facteurs premiers:

$\displaystyle d=\Pi_{i=1}^m p_i$

$\bullet$ Définissons:

$\displaystyle d_1=pgcd(d,a_1)$

$\displaystyle d_2=pgcd(\frac d{d_1},a_2)$

$\displaystyle d_3=pgcd(\frac d{d_1d_2},a_3)$

$\displaystyle \dots$

$\displaystyle d_n=pgcd (\frac d{d_1\dots d_n},a_n)$

$\bullet$ Puisque $d\vert n$ et $n=\Pi_{i=1}^n a_i$ , on arrive à se "débarasser" de chaque facteur premier de dans l'un des , et donc $\Pi_{i=1}^n d_i=d$ .

$\bullet$ Pour tout , divise .

$\bullet$ Dans un groupe cyclique, il existe un sous-groupe du cardinal de n'importe quel diviseur de l'ordre du groupe, donc dans $\mathbb{Z}/(a_i\mathbb{Z})$ il existe un sous-groupe de cardinal .

$\bullet$ Le produit des est un sous-groupe de de cardinal . $\sqcap$ $\sqcup$

Quelques autres corollaires, sans preuve:

Corollaire Soit un groupe abélien fini. Soit $c=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\dots p_l^{n_l}$ la décomposition de en facteurs premiers. Alors pour tout $i\in [1,l]$ il existe un et un seul sous-groupe de de cardinal $p_i^{n_i}$ . En outre, est isomorphe au produit des .
Les , uniques, sont appelés les composantes primaires du groupe commutatif .

Notes

... sous-groupes ^1.4: Notez qu'il peut s'agir du quotient de $\mathbb{Z}^n$ par n'importe quel sous-groupe, puisque $\mathbb{Z}^n$ étant commutatif, tous ses sous-groupes sont distingués
... torsion ^1.5: On vérifie facilement qu'il s'agit bien d'un sous-groupe.
... torsion ^1.6: Sous-entendu: abélien (un groupe de torsion est abélien par définition).