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Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures Définition d'un groupe

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Définition d'un groupe

Définition Un groupe est un ensemble , muni d'une loi de composition interne (lci), c'est à dire une application de $G \times G \rightarrow G$ , généralement notée par la concaténation ( $(x,y)\mapsto xy$ ), vérifiant:
$\bullet$
$\bullet$ $\exists 1 / \forall x x.1=1.x=x$ ; est dit l'élément neutre
$\bullet$ $\forall x \exists x^{-1} / xx^{-1}=x^{-1}x=1$

Pour vérifier qu'un ensemble muni d'une loi est bien un groupe, il suffit de vérifier que les deux premiers $\bullet$ sont vérifiés, et que pour tout il existe $x^{-1}$ tel que $xx^{-1}=1$ .

Définition Un groupe est dit commutatif ou abélien si . Dans ce cas on note souvent additivement; l'élément neutre est alors noté 0, et $x^{-1}$ est noté .