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Sous-groupe

Définition [Sous-groupe] $ H \subset G$ est un sous groupe de $ G$ si et seulement si:
$ \bullet $$ 1 \in H$
$ \bullet $ $ (x,y) \in H^2 \rightarrow xy \in H$
$ \bullet $ $ \forall x  x^{-1} \in H$

NB: un sous-groupe est un groupe, et un groupe inclus dans un groupe (pour les mêmes lois bien sûr) est un sous-groupe de ce groupe.

On peut noter les conditions dessus plus simplement: $ 1 \in H \land HH \subset H \land H^{-1} \subset H$

Définition Deux sous-groupes $ A$ et $ B$ sont dits conjugués s'il existe $ g$ tel que $ A=g.B.g^{-1}$.
Etant donné $ H$ sous-groupe de $ G$, le normalisateur de $ H$ est $ N_G(H)=\{g \in G / gHg^{-1}=H\}$.
Un sous-groupe $ N$ est dit distingué (ou normal) si pour tout $ g$ $ gNg^{-1}=N$; on note $ N \vartriangleleft\shortmid G$.
Un sous-groupe $ N$ est dit caractéristique si il est stable par tout automorphisme intérieur.
Un groupe est dit simple si ses seuls sous-groupes distingués sont $ \{1\}$ et $ G$.
L'ensemble des $ x$ tels que $ x$ commute avec tout élément est appelé le centre d'un groupe. Le centre est un sous-groupe. On note $ Z(G)$ le centre de $ G$.

Remarque Il faut bien voir ce que dit la définition du normalisateur - le normalisateur de $ H$ "fait" de $ H$ un sous-groupe normal, au sens où $ H$ est normal dans son normalisateur. En fait le normalisateur est le plus grand sous-groupe contenant $ H$ dans lequel $ H$ est distingué.

Propriétés:
$ \bullet $Un sous-groupe est distingué si et seulement si son normalisateur est le groupe tout entier.
$ \bullet $Un sous-groupe est distingué si et seulement si il n'est conjugué à aucun autre sous-groupe.
$ \bullet $Un sous-groupe caractéristique est distingué (évident).
$ \bullet $Tout sous-groupe d'un groupe abélien est distingué; par contre, en considérant $ H_8$ le groupe des quaternions, on peut constater qu'il n'y a pas de réciproque (voir [*]).
$ \bullet $$ \{1\}$ et $ G$ sont toujours à la fois des sous-groupes distingués et caractéristiques.
$ \bullet $Le centre d'un groupe est caractéristique et distingué.

Exemples:
$ \bullet $ $ \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est simple (en effet ses seuls sous-groupes sont ses sous-groupes triviaux, donc ses seuls sous-groupes distingués sont ses sous-groupes triviaux...)
$ \bullet $ $ {\cal U}_n$ est simple (voir [*])

Définition On appelle commutateur de $ x$ et $ y$ l'élément $ x.y.x^{-1}.y^{-1}$.
On appelle groupe dérivé d'un groupe le sous-groupe engendré1.1 par les commutateurs. On note $ D(G)$ le groupe dérivé de $ G$.

Il faut bien noter que l'ensemble des commutateurs n'est pas nécéssairement un groupe; le groupe dérivé est le sous-groupe engendré par l'ensemble des commutateurs.

Propriétés:
$ \bullet $$ D(G)$ est distingué et même caractéristique dans $ G$.



Notes

... engendré1.1
Voir paragraphe [*] pour la définition de sous-groupe engendré par une partie.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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