Définition [Sous-groupe] est un sous groupe de si et seulement si:
NB: un sous-groupe est un groupe, et un groupe inclus dans un groupe (pour les mêmes lois bien sûr) est un sous-groupe de ce groupe.
On peut noter les conditions dessus plus simplement:
Définition
Deux sous-groupes et sont dits conjugués s'il existe tel que
.
Etant donné sous-groupe de , le normalisateur de est
.
Un sous-groupe est dit distingué (ou normal) si pour tout ; on note
.
Un sous-groupe est dit caractéristique si il est stable par tout
automorphisme intérieur.
Un groupe est dit simple si ses seuls sous-groupes distingués sont
et .
L'ensemble des tels que commute avec tout élément est appelé le centre d'un groupe. Le centre est un sous-groupe. On note le centre de .
Il faut bien voir ce que dit la définition du normalisateur - le normalisateur de "fait" de un sous-groupe normal, au sens où est normal dans son normalisateur. En fait le normalisateur est le plus grand sous-groupe contenant dans lequel est distingué.
Propriétés:
Un sous-groupe est distingué si et seulement si son normalisateur est le groupe
tout entier.
Un sous-groupe est distingué si et seulement si il n'est conjugué à aucun
autre sous-groupe.
Un sous-groupe caractéristique est distingué (évident).
Tout sous-groupe d'un groupe abélien est distingué; par contre, en considérant le groupe des quaternions, on peut constater qu'il n'y a pas de réciproque (voir ).
et sont toujours à la fois des sous-groupes distingués et caractéristiques.
Le centre d'un groupe est caractéristique et distingué.
Exemples:
est simple (en effet ses seuls sous-groupes sont ses sous-groupes triviaux, donc ses seuls sous-groupes distingués sont ses sous-groupes triviaux...)
est simple (voir )
Définition
On appelle commutateur de et l'élément
.
On appelle groupe dérivé d'un groupe le sous-groupe engendré1.1
par les commutateurs. On note le groupe dérivé de .
Il faut bien noter que l'ensemble des commutateurs n'est pas nécéssairement un
groupe; le groupe dérivé est le sous-groupe engendré par l'ensemble
des commutateurs.
Propriétés:
est distingué et même caractéristique dans .