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Sous-groupe

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Sous-groupe

Définition [Sous-groupe] $H \subset G$ est un sous groupe de si et seulement si:
$\bullet$ $1 \in H$
$\bullet$ $(x,y) \in H^2 \rightarrow xy \in H$
$\bullet$ $\forall x x^{-1} \in H$

NB: un sous-groupe est un groupe, et un groupe inclus dans un groupe (pour les mêmes lois bien sûr) est un sous-groupe de ce groupe.

On peut noter les conditions dessus plus simplement: $1 \in H \land HH \subset H \land H^{-1} \subset H$

Définition Deux sous-groupes et sont dits conjugués s'il existe tel que $A=g.B.g^{-1}$ .
Etant donné sous-groupe de , le normalisateur de est $N_G(H)=\{g \in G / gHg^{-1}=H\}$ .
Un sous-groupe est dit distingué (ou normal) si pour tout $gNg^{-1}=N$ ; on note $N \vartriangleleft\shortmid G$ .
Un sous-groupe est dit caractéristique si il est stable par tout automorphisme intérieur.
Un groupe est dit simple si ses seuls sous-groupes distingués sont $\{1\}$ et .
L'ensemble des tels que commute avec tout élément est appelé le centre d'un groupe. Le centre est un sous-groupe. On note le centre de .

Il faut bien voir ce que dit la définition du normalisateur - le normalisateur de "fait" de un sous-groupe normal, au sens où est normal dans son normalisateur. En fait le normalisateur est le plus grand sous-groupe contenant dans lequel est distingué.

Propriétés:
$\bullet$ Un sous-groupe est distingué si et seulement si son normalisateur est le groupe tout entier.
$\bullet$ Un sous-groupe est distingué si et seulement si il n'est conjugué à aucun autre sous-groupe.
$\bullet$ Un sous-groupe caractéristique est distingué (évident).
$\bullet$ Tout sous-groupe d'un groupe abélien est distingué; par contre, en considérant le groupe des quaternions, on peut constater qu'il n'y a pas de réciproque (voir ).
$\bullet$ $\{1\}$ et sont toujours à la fois des sous-groupes distingués et caractéristiques.
$\bullet$ Le centre d'un groupe est caractéristique et distingué.

Exemples:
$\bullet$ $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est simple (en effet ses seuls sous-groupes sont ses sous-groupes triviaux, donc ses seuls sous-groupes distingués sont ses sous-groupes triviaux...)
$\bullet$ ${\cal U}_n$ est simple (voir )

Définition On appelle commutateur de et l'élément $x.y.x^{-1}.y^{-1}$ .
On appelle groupe dérivé d'un groupe le sous-groupe engendré^1.1 par les commutateurs. On note le groupe dérivé de .

Il faut bien noter que l'ensemble des commutateurs n'est pas nécéssairement un groupe; le groupe dérivé est le sous-groupe engendré par l'ensemble des commutateurs.

Propriétés:
$\bullet$ est distingué et même caractéristique dans .