Définition On appelle homomorphisme du groupe dans le groupe une fonction
telle que
. On note l'ensemble des homomorphismes de dans .
On montre que pour tout tel :
La fonction constante égale à est un homomorphisme de dans ; éventuellement ce peut être le seul.
L'inverse d'un homomorphisme bijectif est un homomorphisme bijectif.
Proposition L'ensemble des automorphismes, i.e. des endomorphismes bijectifs, i.e. homomorphismes de dans bijectifs, noté , est un groupe.
Exemples:
a) groupe, , avec
; le plus petit tel que
, s'il existe est appelé ordre de .
b) groupe,
La fonction ,
est un automorphisme de , dit automorphisme intérieur associé à , appelée aussi conjugaison par . En outre la fonction
est un homomorphisme de dans . Son noyau est le centre de .
L'ensemble des automorphismes intérieurs d'un groupe est un sous-groupe de l'ensemble des automorphismes du dit groupe.
Quelques propriétés:
Proposition groupes,
est un sous-groupe distingué de .
est un sous-groupe de .
injectif
dans le groupe 
une fonction 
telle que
. On note 
l'ensemble des homomorphismes de 
est un homomorphisme de 
, est un groupe.
, avec
; le plus petit 
tel que
, s'il existe est appelé ordre de 
.
,
est un automorphisme de 
, appelée aussi conjugaison
est un homomorphisme de 
groupes,
est un sous-groupe de 
