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Homomorphismes

Définition On appelle homomorphisme du groupe $ G$ dans le groupe $ G'$ une fonction $ \phi$ telle que $ \phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$. On note $ Hom(G,G')$ l'ensemble des homomorphismes de $ G$ dans $ G'$.

On montre que pour tout tel $ \phi$:
$ \bullet $$ \phi(1)=1$
$ \bullet $ $ \phi(x^{-1})=\phi(x)^{-1}$

La fonction constante égale à $ 1$ est un homomorphisme de $ G$ dans $ G'$; éventuellement ce peut être le seul.

L'inverse d'un homomorphisme bijectif est un homomorphisme bijectif.

Proposition L'ensemble des automorphismes, i.e. des endomorphismes bijectifs, i.e. homomorphismes de $ G$ dans $ G$ bijectifs, noté $ Aut(G)$, est un groupe.

Exemples:
a) $ G$ groupe, $ x\in G$
$ \phi_x \in Hom(\mathbb{Z},G)$, avec $ \phi_x(n)=x^n$; le plus petit $ n$ tel que $ \phi_x(n)=1$, s'il existe est appelé ordre de $ x$.
b) $ G$ groupe, $ g \in G$
La fonction $ \alpha _g$, $ x \mapsto gxg^{-1}$ est un automorphisme de $ G$, dit automorphisme intérieur associé à $ g$, appelée aussi conjugaison par $ g$. En outre la fonction $ g \mapsto \alpha _g$ est un homomorphisme de $ G$ dans $ Aut(G)$. Son noyau est le centre de $ G$.
L'ensemble des automorphismes intérieurs d'un groupe est un sous-groupe de l'ensemble des automorphismes du dit groupe.

Quelques propriétés:

Proposition $ (G,G')$ groupes, $ \phi \in Hom(G,G')$
$ \bullet $ $ Ker \phi := \{g \in G / \phi(g)=1\}$
est un sous-groupe distingué de $ G$.
$ \bullet $$ Im \phi$ est un sous-groupe de $ G'$.
$ \bullet $$ \phi$ injectif $ \iff$ $ Ker \phi=\{1\}$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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