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Définition On appelle suite exacte un schéma comme suit:

$\displaystyle {\atop 1 \rightarrow A} {i\atop{\rightarrow}}{\atop B} {s\atop{\rightarrow}} {\atop{C \rightarrow 1}}$

Cela signifie que $ A$, $ B$ et $ C$ sont des groupes, et que
$ \bullet $$ i$ est un homomorphisme injectif de $ A$ dans $ B$
$ \bullet $$ s$ est un homomorphisme surjectif de $ B$ dans $ C$
$ \bullet $ $ Ker s = Im i$
(on note 0 au lieu de $ 1$ lorsque les groupes sont notés additivement)
Lorsque $ i$ et $ s$ ne sont pas précisés, cela signifie simplement que l'on peut trouver de tels $ i$ et $ s$.
On dit alors que $ B$ est une extension de $ A$ par $ C$. Si en outre il existe $ \overline C$ sous-groupe de $ B$ tel que la restriction de $ s$ à $ \overline C$ est un isomorphisme, alors on dit que $ \overline C$ est un relèvement. Cela est équivalent à dire qu'il existe un homomorphisme $ t$ de $ C$ dans $ B$ tel que $ s \circ t = Id_C$. S'il y a un relèvement, l'extension est dite scindée. $ t$ est appelée section de $ s$.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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