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Sous-groupe engendré

Proposition Soit $ G$ un groupe, $ X$ inclus dans $ G$.

Il existe un plus petit sous-groupe $ H$ de $ G$ contenant $ X$. On peut le définir de deux façons:
(i) $ H$ est l'intersection de tous les sous-groupes contenant $ X$
(ii) $ H$ est l'ensemble des produits finis d'éléments de $ X \cup X^{-1}$.

Démonstration:

(i) est évident car l'intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe.
(ii) on procède en trois points:
$ \bullet $$ K$ ainsi défini est un sous-groupe
$ \bullet $ $ X \subset K$ donc par (i) $ H \subset K$
$ \bullet $ $ K \subset H$ est clair$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition On note $ H=<X>$, $ H$ est appelé groupe engendré par $ X$, et $ X$ est appelée partie génératrice de $ H$. Si $ X$ est réduit à un seul élément $ x$ on note souvent $ H=<x>$ au lieu de $ H=<\{x\}>$.
Un groupe est dit monogène s'il est engendré par un seul élément. On appelle groupe cyclique un groupe monogène fini.
On appelle ordre d'un élément le cardinal du groupe engendré par cet élément.

Remarque Si deux homomorphismes coïncident sur une partie génératrice d'un groupe, alors ils coïncident sur l'ensemble du groupe.
Application(s)... Cela sera utile pour la proposition [*].

Définition On dit que $ G$ est de type fini si $ \exists X$ fini qui engendre $ G$.

Ainsi $ \mathbb{Z}$, $ \mathbb{Z}^n$ sont de type fini, et tout groupe fini est de type fini.

Remarque tout groupe de type fini est dénombrable.
Il n'y a pas équivalence, car par exemple $ (\mathbb{Q}^*,\times)$ n'est pas de type fini (preuve en considérant des générateurs et leurs décompositions en facteurs premiers)
$ (\mathbb{Q},+)$ non plus (considérer l'inf de l'intersection avec $ \mathbb{R}^+$ d'un groupe de type fini, en réduisant au même dénominateur)

Proposition Le groupe engendré par un ensemble réduit à un élément $ x$ est commutatif, et est l'ensemble des $ x^n$ avec $ n\in \mathbb{Z}$. Il est isomorphe à $ \mathbb{Z}$ ou à $ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Démonstration: $ \{ x^n \}$ est un groupe et contient $ x$, donc il est inclus dans $ <x>$; s'il est fini alors il existe $ n$ tel que $ x^p=x^{p+n}$, et donc $ x^n=1$, et donc $ <x>=\{x^0,...,x^{n-1}\}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

Démonstration: Un tel sous-groupe $ H$ de $ G$ est évidemment fini. Notons ensuite $ a$ un générateur du groupe; le groupe est donc de la forme $ a^0,...,a^{n-1}$. Soit $ p>0$ minimal tel que $ a^p \in H$;


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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