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Rappel: ensemble quotient

Soit $ X$ un ensemble, et $ {\cal R}$ une relation d'équivalence sur $ X$; l'ensemble des classes pour $ {\cal R}$ est une partition de $ X$. Cet ensemble de classes, noté $ X/{\cal R}$, est appelé ensemble quotient de $ X$ par $ {\cal R}$. La classe d'un élément est notée $ \Pi(x)$, $ x$ est dit un représentant de $ \Pi(x)$. $ \Pi$ est appelée surjection canonique.

Il y a en fait ainsi bijection entre l'ensemble des relations d'équivalence et l'ensemble des partitions en parties non vides. A toute relation d'équivalence $ \equiv$ on peut associer une fonction $ f$ telle que $ x \equiv y \iff f(x)=f(y)$ (il suffit pour le montrer de considérer la fonction $ \Pi$).

Etant donnée une fonction définie sur $ X$, on peut définir $ \overline f$ fonction quotient si $ f$ est constante sur les classes d'équivalences, $ \overline f$ étant alors définie par $ \overline f(\Pi(x))=f(x)$.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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