Etant donné
on note
la classe de dans
(la relation d'équivalence considérée étant la congruence modulo - et sont équivalents si divise ).
Proposition
On a équivalence entre les propriétés suivantes:
est premier avec est générateur du groupe
est inversible dans l'anneau
Démonstration:Facile, en application du théorème de Bezout.
Définition [Fonction d'Euler]
On appelle fonction d'Euler la fonction telle que soit le nombre
d'entiers tels que
et
.
PropositionSi est premier et
si est le nombre d'éléments inversibles de
Démonstration:le premier point est clair; il suffit de voir qu'un élément est premier
avec si et seulement s'il n'est pas divisible par .
Le second point est un corollaire de la proposition précédente.
Lemme [Lemme Chinois]
Si et sont premiers entre eux alors
Démonstration:Il s'agit des groupes additifs usuels. L'égalité des cardinaux montre qu'il suffit de trouver un morphisme de groupes
injectif. Pour cela on associe à la classe de dans
la classe de dans
et la classe de
dans
. Il est clair que si deux entiers ont la même classe modulo alors ils ont la même classe modulo
et modulo , donc l'application est bien définie.
Le fait que cette application soit un morphisme est clair.
L'application est injective, car si deux entiers ont la même classe modulo et , alors ils ont la même classe
modulo .
Corollaire
Si
, avec les premiers distincts et les
, alors
Démonstration:Le premier point découle de l'utilisation récurrente du lemme chinois, le deuxième et le troisième
sont des conséquences immédiates du premier.
Proposition
L'ensemble des automorphismes de
est isomorphe à
.
Démonstration:Il suffit de considérer l'application qui à un élément inversible associe
l'automorphisme
;
il est clair que c'est un morphisme injectif de
dans
étant donné un automorphisme de
on montre facilement qu'il est
égal à
.
Démonstration: est un corps fini (voir le chapitre sur la théorie des groupes).
On sait (voir proposition ) que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique, donc isomorphe à un certain
.
Il suffit donc de se rappeler que le cardinal de
est pour conclure.
Lemme
Si , alors
, avec
et
.
Démonstration:Par récurrence sur :
donc
quelconque
On écrit
; il suffit alors
de développer en utilisant le binôme de Newton la puissance -ième
en isolant le premier et le dernier terme.
Corollaire est d'ordre
dans
.
Démonstration:il est d'ordre au plus
au vu du lemme précédent.
En outre
, et donc ne saurait être congru à
modulo .
Lemme
Si et sont premiers entre eux, et si et commutent,
et si est d'ordre et est d'ordre , alors
est d'ordre .
Démonstration:Il est facile de voir que est d'ordre au plus , puisque
et commutent.
Réciproquement, si , alors
, donc
, puisque . Donc divise l'ordre de .
De même divise l'ordre de ; donc divise l'ordre de ,
puisque et sont premiers entre eux.
Proposition
Si premier , , alors
Démonstration:On va utiliser les lemmes précédents.
On considère tout d'abord l'application définie par
étant la fonction induite par l'identité (il convient
de bien vérifier que est bien définie et est un morphisme
de groupes surjectif)
par le lemme tout élément dont l'image par
est non égal à
engendre
; donc son ordre
est un multiple de (voir le lemme ).
étant donné un tel élément, il existe appartenant
au groupe engendré par tel que est d'ordre .
On applique alors le lemme , est d'ordre
le produit des ordres de et de ; or est d'ordre
comme on vient de le voir, et est d'ordre
par le
corollaire ; est donc d'ordre
;
le groupe engendré par est donc nécessairement
tout entier, d'où le résultat.
On vient donc par cette proposition de détailler la forme des
dans le cas où . Il convient de considérer
le cas .
Lemme
avec
(i.e. impair)
Démonstration:Facile, par récurrence.
Proposition,
,
et ensuite (pour
)
.
Démonstration: On considère le morphisme surjectif induit par l'identité
de
sur
.
Le noyau de est d'ordre
appartient au noyau de .
par le lemme , est d'ordre
(l'ordre est une puissance
de , et
ne peut être congru à )
le noyau de est donc cyclique (au vu des trois affirmations précédentes)
On a alors la suite exacte (voir chapitre sur la théorie des groupes)
Le sous-groupe de
est une section de , et il est
distingué puisque notre groupe
est abélien. Donc on a un produit
direct
ce qui conclut la preuve (précisons que le produit direct
est
isomorphe au produit direct
...).