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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

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Sous-sections

$\boxcircle$ Généralités
$\boxcircle$ Lemme chinois
$\boxcircle$ Automorphismes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
$\boxcircle$ Forme des groupes $(\mathbb{Z}/p^\alpha \mathbb{Z})^*$

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\boxcircle$ Généralités

Etant donné $m \in \mathbb{N}$ on note $\overline m$ la classe de

dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (la relation d'équivalence considérée étant la congruence modulo

sont équivalents si

divise

Proposition On a équivalence entre les propriétés suivantes:
$\bullet$ est premier avec
$\bullet$ $\overline m$ est générateur du groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$
$\bullet$ $\overline m$ est inversible dans l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$

Démonstration: Facile, en application du théorème de Bezout. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Fonction d'Euler] On appelle fonction d'Euler la fonction $\phi$ telle que $\phi(n)$ soit le nombre d'entiers tels que $1\leq x \leq n$ et $x \land n =1$ .

Proposition $\bullet$ Si est premier $\phi(n)=n-1$ et $\phi(n^r)=n^{r-1}.(n-1)$ si
$\bullet$ $\phi(n)$ est le nombre d'éléments inversibles de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$

Démonstration: le premier point est clair; il suffit de voir qu'un élément est premier avec si et seulement s'il n'est pas divisible par .
Le second point est un corollaire de la proposition précédente. $\sqcap$ $\sqcup$

$\boxcircle$ Lemme chinois

Lemme [Lemme Chinois] Si et sont premiers entre eux alors

$\displaystyle (\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z},+) \simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+) \times (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z},+)$

Démonstration: Il s'agit des groupes additifs usuels. L'égalité des cardinaux montre qu'il suffit de trouver un morphisme de groupes injectif. Pour cela on associe à la classe de dans $\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$ la classe de dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et la classe de dans $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ . Il est clair que si deux entiers ont la même classe modulo alors ils ont la même classe modulo et modulo , donc l'application est bien définie.
Le fait que cette application soit un morphisme est clair.
L'application est injective, car si deux entiers ont la même classe modulo et , alors ils ont la même classe modulo . $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Si $n=\Pi_i p_i^{\alpha _i}$ , avec les premiers distincts et les $\alpha _i > 0$ , alors

$\displaystyle (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times) \simeq \Pi_i (\mathbb{Z}/p_i^{\alpha _i}\mathbb{Z},+,\times)$

$\displaystyle (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^* \simeq \Pi_i (\mathbb{Z}/p_i^{\alpha _i}\mathbb{Z})^*$

$\displaystyle \phi(n)=\Pi_i \phi(p_i^{\alpha _i})=n.\Pi_i (1-1/P_i)$

Démonstration: Le premier point découle de l'utilisation récurrente du lemme chinois, le deuxième et le troisième sont des conséquences immédiates du premier. $\sqcap$ $\sqcup$

$\boxcircle$ Automorphismes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Proposition L'ensemble des automorphismes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ .

Démonstration: Il suffit de considérer l'application $\psi$ qui à un élément inversible associe l'automorphisme $x \mapsto m.x$ ;
$\bullet$ il est clair que c'est un morphisme injectif de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$ dans $Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$
$\bullet$ étant donné un automorphisme de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ on montre facilement qu'il est égal à $\psi(f(1))$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire $Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ est un groupe abélien d'ordre $\phi(n)$ .

$\boxcircle$ Forme des groupes $(\mathbb{Z}/p^\alpha \mathbb{Z})^*$

désigne un nombre premier.

Lemme $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* \simeq (\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z},+)$

Démonstration: $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ est un corps fini (voir le chapitre sur la théorie des groupes).

On sait (voir proposition ) que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique, donc isomorphe à un certain $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ .

Il suffit donc de se rappeler que le cardinal de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ est pour conclure. $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme Si , alors $(1+p)^{p^k}=1+{\lambda}.p^{k+1}$ , avec ${\lambda}>0$ et ${\lambda}\land p=1$ .

Démonstration: Par récurrence sur :
$\bullet$
$(1+p)^p= \sum_{i=0}^p C_p^i p^i$
donc
$\bullet$ quelconque
On écrit $(1+p)^{p^{k+1}}=((1+p)^{p^k})^p=(1+{\lambda}.p^{k+1})^p$ ; il suffit alors de développer en utilisant le binôme de Newton la puissance -ième en isolant le premier et le dernier terme. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire est d'ordre $p^{\alpha -1}$ dans $\mathbb{Z}/p^\alpha \mathbb{Z}$ .

Démonstration: il est d'ordre au plus $p^{\alpha -1}$ au vu du lemme précédent.
En outre $(1+p)^{p^{\alpha -2}}=1+{\lambda}.p^{\alpha -1}$ , et donc ne saurait être congru à modulo $p^\alpha$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme Si et sont premiers entre eux, et si et commutent, et si est d'ordre et est d'ordre , alors est d'ordre .

Démonstration: $\bullet$ Il est facile de voir que est d'ordre au plus , puisque et commutent.
$\bullet$ Réciproquement, si , alors $a^{n.t}.b^{n.t}=1$ , donc $a^{n.t}=1$ , puisque $b^{n.t}=1$ . Donc divise l'ordre de . De même divise l'ordre de ; donc divise l'ordre de , puisque et sont premiers entre eux. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Si premier , $m \geq 2$ , alors

$\displaystyle (\mathbb{Z}/p^\alpha \mathbb{Z})^* \simeq \mathbb{Z}/\phi(p^\alpha )\mathbb{Z}\simeq \mathbb{Z}/ p^{\alpha -1}.(p-1)\mathbb{Z}$

Démonstration: On va utiliser les lemmes précédents.
$\bullet$ On considère tout d'abord l'application $\psi$ définie par

$\displaystyle \psi : (\mathbb{Z}/p^\alpha \mathbb{Z})^* \rightarrow (\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z})^*$

$\psi$ étant la fonction induite par l'identité (il convient de bien vérifier que $\psi$ est bien définie et est un morphisme de groupes surjectif)
$\bullet$ par le lemme

tout élément dont l'image par $\psi$ est non égal à $\overline 1$ engendre $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ ; donc son ordre est un multiple de

(voir le lemme

).
$\bullet$ étant donné

un tel élément, il existe

appartenant au groupe engendré par

tel que

est d'ordre

.
$\bullet$ On applique alors le lemme

est d'ordre le produit des ordres de

et de

; or

est d'ordre

comme on vient de le voir, et

est d'ordre $p^{\alpha -1}$ par le corollaire

;

est donc d'ordre $(p+1).p^{\alpha -1}$ ; le groupe engendré par

est donc nécessairement $(\mathbb{Z}/p^\alpha \mathbb{Z})^*$ tout entier, d'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

On vient donc par cette proposition de détailler la forme des $(\mathbb{Z}/p^\alpha \mathbb{Z})^*$ dans le cas où . Il convient de considérer le cas .

Lemme

$\displaystyle k>0 \rightarrow 5^{2^k}=1+{\lambda}.2^{k+2}$

avec ${\lambda}\land 2 =1$ (i.e. ${\lambda}$ impair)

Démonstration: Facile, par récurrence. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition $(\mathbb{Z}/2.\mathbb{Z})^* = \{1\}$ , $(\mathbb{Z}/4.\mathbb{Z})^* = \{ 1,-1\} \simeq \mathbb{Z}/2.\mathbb{Z}$ , et ensuite (pour $\alpha \leq 3$ ) $(\mathbb{Z}/2^\alpha \mathbb{Z})^* \simeq \mathbb{Z}/2.\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2^{\alpha -2}\mathbb{Z}$ .

Démonstration:
$\bullet$ On considère le morphisme surjectif $\psi$ induit par l'identité de $(\mathbb{Z}/2^\alpha \mathbb{Z})^*$ sur $(\mathbb{Z}/4.\mathbb{Z})^* = \{ 1,-1\} \simeq \mathbb{Z}/2.\mathbb{Z}$ .
$\bullet$ Le noyau de $\psi$ est d'ordre $2^{\alpha -2}$
$\bullet$ appartient au noyau de $\psi$ .
$\bullet$ par le lemme , est d'ordre $2^{\alpha -2}$ (l'ordre est une puissance de , et $5^{2^{\alpha -3}}$ ne peut être congru à )
$\bullet$ le noyau de $\psi$ est donc cyclique (au vu des trois affirmations précédentes)
$\bullet$ On a alors la suite exacte (voir chapitre sur la théorie des groupes)

$\displaystyle {\atop 1 \rightarrow \mathbb{Z}/2^{\alpha -2} \rightarrow (\mathb... ...a \mathbb{Z})^*}{\psi \atop \rightarrow} {\mathbb{Z}/2.\mathbb{Z}\rightarrow 1}$

$\bullet$ Le sous-groupe $\{-1,1\}$ de $(\mathbb{Z}/2^\alpha \mathbb{Z})^*$ est une section de $\psi$ , et il est distingué puisque notre groupe $(\mathbb{Z}/2^\alpha \mathbb{Z})^*$ est abélien. Donc on a un produit direct

$\displaystyle (\mathbb{Z}/2^\alpha \mathbb{Z})^* \simeq \mathbb{Z}/2.\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2^{\alpha -2}\mathbb{Z}$