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Idéaux étrangers

Définition

Soit $ A$ un anneau et $ c$ et $ d$ deux idéaux bilatèresde $ A$. Les anneaux $ c$ et $ d$ sont dits étrangers (ou comaximaux) si $ c+d=A$.

Exemples: deux idéaux maximaux sont toujours étrangers.

Proposition Si $ a_1,\dots,a_n$, $ b_1,\dots,b_m$ sont des idéaux bilatères de $ A$, et si pour tout $ (i,j)\in \{1,\dots,n\}\times \{1,\dots,m\}$ $ a_i$ et $ b_j$ sont étrangers, alors les idéaux $ a_1\times a_2 \times \dots \times a_n$ et $ b_1\times b_2 \times \dots \times b_m$ sont étrangers.

Démonstration: On fait d'abord la preuve pour $ m=1$ en utilisant des égalités: $ x_i+y_i=1$ avec $ x_i\in a_i$ et $ y_i \in b_1$. On multiplie terme à terme. Puis on fait pareil avec $ a_1,\dots,a_n$ et chaque $ b_i$. $ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque: dans $ \mathbb{Z}$, $ a$ et $ b$ sont premiers entre eux si et seulement si $ (a)$ et $ (b)$ sont étrangers.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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