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Définitions

Définition [Anneau] Un anneau est un triplet $ (A,+,\times)$ tel que
$ \bullet $$ A$ est un ensemble non vide
$ \bullet $$ +$ est une loi de composition interne (c'est à dire une application de $ A\times A$ dans $ A$), telle que $ (A,+)$ est un groupe commutatif.
$ \bullet $$ \times$ est une loi de composition interne associative, ayant un élément neutre, distributive par rapport à $ +$

On appelle unité de $ (A,+,\times)$ tout élément inversible pour $ \times$.
Si en outre $ \times$ est commutative, l'anneau est dit commutatif.
On note 0 l'élément neutre pour l'addition, $ 1$ l'élément neutre pour la multiplication, le symétrique de $ a \in A$ pour $ +$ est noté $ -a$, et le symétrique, lorsque $ a$ est une unité, de $ a$ pour $ \times$ est noté $ a^{-1}$.

$ a\times b$ sera souvent abrégé $ a.b$ ou même $ ab$.
$ a$ et $ b$ appartenant à $ A$ sont dits associés si $ a=b.x$ pour un certain $ x$ unité. La relation d'association est une relation d'équivalence.
On dit que $ a$ divise $ b$, ou que $ a$ est un diviseur de $ b$, ou que $ b$ est un multiple de $ a$, pour $ a$ et $ b$ dans $ A$, s'il existe $ x$ tel que $ b=a.x$.
On dit que $ a$ est un plus grand commun diviseur ou pgcd des éléments $ a_1,...,a_n$, si pour tout $ i$, $ d\vert a_i$ et si pour tout $ d'$ $ \forall i d'\vert a_i$ implique $ d'\vert d$. On dit que $ a$ est un plus petit commun multiple ou ppcm des éléments $ a_1,...,a_n$, si pour tout $ i$, $ a_i\vert d$ et si pour tout $ d'$, $ \forall i a_i\vert d'$ implique $ d\vert d'$. $ a \in A$ est dit irréductible si $ a$ n'est pas une unité et si $ b\vert a$ implique que $ b$ est une unité ou que $ b$ est associé à $ a$.

Pour y voir plus clair Les notions de ppcm et pgcd seront surtout utilisées dans le cadre d'anneaux principaux (voir partie [*]), bien que leur définition puisse être utilisée dans un cadre plus général.

Proposition $ \bullet $$ a \in A$ est irréductible si et seulement si $ a$ n'est pas une unité et si $ b.c=a$ implique $ b$ ou $ c$ est une unité.
$ \bullet $Dans $ \mathbb{Z}$ les éléments irréductibles sont les nombres premiers.

J'ai ici imposé l'existence d'un élément neutre pour la multiplication; selon les terminologies ce n'est pas toujours le cas. Si l'on ne suppose pas l'existence d'un élément neutre pour la définition d'un anneau, alors un anneau vérifiant en outre cette propriété sera appelé anneau unitaire. Dans la vie de tous les jours, les anneaux sont toujours unitaires. L'hypothèse de commutativité est très classique, mais ici cette hypothèse sera précisée quand elle est nécessaire.

Exemples: :
$ \bullet $ $ (\mathbb{Z},+,\times)$ est un anneau.
$ \bullet $ $ ({\cal P}(E),\Delta,\cap)$ est un anneau commutatif, avec $ \Delta$ la différence symétrique, c'est à dire $ A\Delta B=A\cup B - A \cap B$.

Propriétés:(notez que $ na$, pour $ n\in \mathbb{N}$ et $ a \in A$, désigne $ a+a+a+\dots+a$ ($ a$ $ n$ fois), et $ a^n$ désigne $ a\times a\times a \times \dots\times a$ ($ a$ $ n$ fois).
$ \bullet $$ 1 \neq 0$, à moins que le cardinal de $ A$ soit $ 1$.
$ \bullet $$ a.0=0.a=0$ pour tout $ a \in A$.
$ \bullet $ $ -(a.b)=(-a).b=a.(-b)$ pour tous $ (a,b)\in A^2$
$ \bullet $ $ (na).b=n.(ab)=a.(nb)$ pour tous $ (a,b)\in A^2$ et $ n\in \mathbb{N}$.
$ \bullet $L'ensemble des unités forme un groupe pour $ \times$.

Proposition [Formule du binôme de Newton] Soit $ a$ et $ b$ dans un anneau $ A$. Si $ a$ et $ b$ commutent, alors

$\displaystyle (a+b)^n=\sum_{k\in[0,n]} C_n^k a^kb^{n-k}$

Démonstration: Par une récurrence sans difficulté, en se rappelant que $ C_n^p=C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}$$ \sqcap$$ \sqcup$



Exemple Maple


$ > (x+y)$^ $ 3$

$\displaystyle (x+y)^3$

$ > expand(\%);$

$\displaystyle x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$






Définition [Diviseurs de 0, anneaux intègres, éléments nilpotents]

  1. Un élément $ a$ est dit diviseur à gauche de 0 s'il existe $ b \neq 0$ tel que $ b.a=0$.
    Un élément $ a$ est dit diviseur à droite de 0 s'il existe $ b \neq 0$ tel que $ a.b=0$.
    Un élément est dit diviseur de 0 s'il est à la fois diviseur à gauche de 0 et diviseur à droite de 0.
    Un anneau est dit sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à gauche de 0 ou de diviseur à droite de 0 autre que 0 lui-même.
  2. Un anneau est dit intègre si:
    $ \bullet $il est de cardinal $ >1$
    $ \bullet $il est commutatif
    $ \bullet $il est sans diviseur de 0
  3. Un élément $ a$ est dit nilpotent s'il existe $ n\in \mathbb{N}$ tel que $ a^n=0$. On appelle alors indice de nilpotence de $ a$ le plus petit $ n$ convenable non nul.

Remarques:
$ \bullet $ $ (\mathbb{Z},+,\times)$ est un anneau intègre.
$ \bullet $Tout anneau comporte un diviseur de 0 à gauche, un diviseur de 0 à droite, et un diviseur de 0 tout court; il s'agit de 0 lui-même. Un anneau sans diviseur de 0 ne signifie donc pas que l'anneau ne comporte pas de diviseur de 0.
$ \bullet $Un anneau est sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à gauche de 0 autre que 0. En effet, si $ A$ n'admettant pas de diviseur à gauche de 0 admet un diviseur à droite de 0 autre que 0, alors $ 0=ab$ pour $ a$ et $ b$ non nul, ce qui contredit le fait que 0 n'ait pas de diviseur à gauche.
$ \bullet $De même, un anneau est sans diviseur de 0 s'il n'admet pas de diviseur à droite de 0 autre que 0.
$ \bullet $Un anneau est sans diviseur de 0 si $ ab=0$ $ \Rightarrow$ $ a=0$ ou $ b=0$.

Définition [Morphisme d'anneaux] Une application $ f$ d'un anneau $ (A,+,\times)$ vers un anneau $ (B,+,\times)$ est un morphisme d'anneaux (ou homomorphisme) si:
$ \bullet $$ f$ est un morphisme du groupe $ (A,+)$ vers le groupe $ (B,+)$
$ \bullet $ $ f(x.y)=f(x).f(y)$ pour tout $ (x,y) \in A^2$
$ \bullet $ $ f(1_A)=1_B$
On appelle alors noyau de $ f$ l'ensemble $ ker f$ des $ x \in A$ tels que $ f(x)=0$.

Remarques:
$ \bullet $Le noyau d'un morphisme d'anneaux est le noyau du morphisme de groupes sous-jacent.
$ \bullet $0 appartient au noyau de tout morphisme d'anneaux.
$ \bullet $L'image de l'inverse est l'inverse de l'image, pour chacune des deux lois.

Définition [Produit d'anneaux] On appelle produit de deux anneaux leur produit cartésien muni de l'addition terme à terme et de la multiplication terme à terme.

On vérifie facilement qu'un produit d'anneaux est un anneau.

Définition [Sous-anneau] Etant donné $ (A,+,\times)$ un anneau, une partie $ B$ de $ A$ est un sous-anneau de $ A$ si
$ \bullet $$ 1\in B$
$ \bullet $$ (B,+)$ est un sous-groupe de $ (A,+)$
$ \bullet $$ B$ est stable par multiplication

Propriétés:
$ \bullet $Un sous-anneau est un anneau, mais un anneau inclus dans un anneau n'en est pas nécessairement un sous-anneau; en effet il faut considérer la condition $ 1\in B$.
Par exemple l'ensemble des matrices de la forme

$\displaystyle \left( \begin{array}{cc} x & 0  0 & 0  \end{array} \right)$

est un anneau inclus dans l'anneau des matrices $ 2\times 2$, mais n'en est pas un sous-anneau.
$ \bullet $L'image réciproque d'un sous-anneau par un morphisme d'anneaux est un sous-anneau.
$ \bullet $L'image d'un sous-anneau par un morphisme d'anneaux est un sous-anneau.

Théorème Pour tout anneau $ (A,+,\times)$, il existe un unique morphisme d'anneaux de $ (\mathbb{Z},+,\times)$ dans $ (A,+,\times)$. Il est défini par $ \phi(n)=1_A + ... + 1_A$    $ n$ fois et $ \phi(-n)=-1_A -1_A \dots -1_A$    $ n$ fois pour $ n>0$.
Démonstration: On vérifie aisément que $ \phi$ ainsi définit est bien un morphisme d'anneau. $ \phi(1)$ est nécessairement égal à $ 1$ et $ \phi(0)$ à 0. Par récurrence, les propriétés des anneaux permettent de vérifier que les autres éléments sont aussi définis de manière unique.$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque: ceci montre que tout anneau contient un sous-anneau minimal qui est $ \phi(\mathbb{Z})$.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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