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Idéaux, anneaux quotients

Définition [Idéal à gauche, idéal à droite] On se donne $ (A,+,\times)$ un anneau et $ I$ une partie non vide de $ A$.
$ I$ est un idéal à gauche (resp. à droite) de $ (A,+,\times)$ si
$ \bullet $$ I$ est stable pour l'addition
$ \bullet $$ A.I$ est inclus dans $ I$ (resp. $ I.A$ est inclus dans $ I$)

$ I$ est un idéal (parfois on dit idéal bilatère) si $ I$ est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite. $ A$ et $ \{0\}$ sont toujours des idéaux de $ A$; on les appelle idéaux triviaux de $ A$. Les autres idéaux sont appelés idéaux non triviaux (on dit parfois aussi idéaux propres) de $ A$.

Exemples: Dans $ {\cal M}_n(\mathbb{R})$, l'ensemble des matrices à première colonne nulle est un idéal à gauche, l'ensemble des matrices à première ligne nulle est un idéal à droite.

Propriétés:
$ \bullet $Un idéal contenant $ 1$ ou toute autre unité de l'anneau est l'anneau tout entier.
$ \bullet $La réunion d'une suite croissante d'idéaux est un idéal.
$ \bullet $$ I$ idéal de $ A$ et $ J$ idéal de $ B$; alors $ I \times J$ est un idéal de $ A \times B$.
$ \bullet $L'intersection d'une famille d'idéaux est un idéal.

Proposition $ \bullet $Le noyau d'un morphisme est un idéal.
$ \bullet $L'image réciproque d'un idéal par un morphisme est un idéal.
$ \bullet $L'image d'un idéal par un morphisme est un idéal de l'image de l'anneau (et pas nécessairement de l'anneau dans lequel l'image est incluse...).

Définition Une intersection d'idéaux étant un idéal, on peut définir l'idéal engendré par une partie de $ A$ comme l'intersection de tous les idéaux contenant cette partie. C'est donc aussi le plus petit idéal contenant cette partie. On note $ (E)$ l'idéal engendré par $ E$.

Définition On appelle idéal principal un idéal $ I$ d'un anneau commutatif engendré un singleton $ \{x\}$. On note abusivement $ (x)$ pour $ (\{x\})$.
On appelle anneau principal un anneau intègre tel que tout idéal est principal.
Un idéal $ I$ d'un anneau commutatif est dit idéal maximal s'il est différent de l'anneau tout entier et si tout idéal incluant $ I$ est égal à $ I$ ou à l'anneau lui-même.
On appelle somme d'une famille d'idéaux $ (I_k)_{k\in K}$ l'ensemble des $ \sum_{i \in J} x_i$ avec $ J$ fini inclus dans $ K$ et $ x_i \in I_i$.
Un idéal est dit de type fini s'il est somme d'un nombre fini d'idéaux principaux.

Remarques:
$ \bullet $Un anneau principal est donc commutatif, non réduit à $ \{0\}$, sans diviseur de 0; et tout idéal de cet anneau est principal.
$ \bullet $On notera bien qu'un idéal maximal n'est pas un idéal qui est maximal... Il est en fait maximal parmi les idéaux propres.
$ \bullet $Dans un anneau commutatif $ A$, $ (x)=\{x.a / a \in A\}$.
$ \bullet $Une somme d'idéaux est un idéal.
$ \bullet $La somme des idéaux $ I_k$ avec $ I_k=(x_k)$ est l'idéal engendré par la famille des $ x_k$.

Nb: Un idéal de type fini est donc un idéal engendré par un nombre fini d'éléments.

Proposition Si $ a$ et $ b$ sont associés alors $ (a)=(b)$.
Dans un anneau intègre il y a réciproque.

Démonstration: Facile au vu de la dernière remarque.$ \sqcap$$ \sqcup$

Attention! Il n'y a pas de réciproque dans le cas général !

Théorème [Théorème de Bezout] $ A$ est supposé principal.

$ \bullet $un générateur de $ I=(a_1)+(a_2)+...+(a_n)$ est un pgcd des $ a_i$.

$ \bullet $$ d$, diviseur commun des $ a_i$, est pgcd des $ a_i$ si et seulement s'il existe une famille $ ({\lambda}_i)_{i\in [1,n]}$ tels que $ d=\sum {\lambda}_i a_i$ (relation de Bezout).

$ \bullet $un générateur de $ I=(a_1)\cap(a_2)\cap ... \cap (a_n)$ est un ppcm des $ a_i$.

Démonstration:

Le premier $ \bullet $est simple: un tel générateur $ d$ doit nécessairement diviser tous les $ a_i$, et il doit nécessairement être dans l'idéal $ I$, et donc tout élément qui divise tous les $ a_i$, étant lui même un générateur de $ I$, doit diviser $ d$.

Le second $ \bullet $est une simple traduction du fait que $ d$ soit bien dans $ I$ et soit un générateur de $ I$.

Pour le troisième $ \bullet $, donnons-nous $ p$ un tel générateur; il appartient à $ I$, et donc est un multiple de chaque $ a_i$; et si $ p'$ est un autre multiple des $ a_i$, alors il est dans tous les $ (a_i)$, et donc appartient à $ I$, et donc est un multiple de $ p$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Dans $ A=\mathbb{Z}$ ou $ A=\mathbb{K}[X]$ avec $ \mathbb{K}$ un corps, il est utile de disposer d'un algorithme pratique permettant de découvrir une relation de Bezout entre $ a$ et $ b$ si une telle relation existe. Pour cela, il suffit de constater que $ a$ et $ b$ ont même pgcd que $ a$ et $ a-qb$, pour tout $ q$ dans $ A$, par exemple avec $ q$ le quotient dans la division euclidienne de $ a$ par $ b$. Si $ a$ est divisible par $ b$, le pgcd de $ a$ et $ b$ est simplement $ b$; sinon, on effectue une division euclidienne. Considérons un exemple pratique, cherchons le pgcd de $ 42$ et $ 30$.

$\displaystyle 30 \not \vert 42$

$\displaystyle 42=1\times 30+12$

$\displaystyle 12 \not \vert 30$

$\displaystyle 30=2\times 12 +6$

$\displaystyle 12 \vert 6$    et $\displaystyle 12=2\times 6$

Donc

$\displaystyle 6=30-2\times 12=30 -2\times (42-30)=3\times 30 -2 \times 42$

ce qui est bien la relation de Bezout attendue. Cet algorithme est appelé algorithme d'Euclide.

Définition Un idéal $ I$ est dit premier si et seulement si $ A/I$ est intègre.
Un élément d'un anneau est dit premier si et seulement l'idéal engendré par cet élément est premier.

Proposition $ \bullet $Un idéal $ I$ de $ A$ est premier si et seulement s'il est différent de $ A$ et si $ a.b \in I $ implique $ a\in I$    ou $ b\in I$.
$ \bullet $L'image réciproque d'un idéal premier par un homomorphisme d'anneaux est un idéal premier.

La première de ces deux propriétés est fondamentale car c'est généralement celle que l'on utilise pour montrer qu'un idéal est premier.

Proposition Un anneau commutatif est intègre si et seulement si $ (0)$ est un idéal premier.

Démonstration:

$ (0)$ idéal premier
si et seulement si
$ a.b\in(0) \rightarrow a\in (0)$    ou $ b\in (0)$
si et seulement si
$ a.b=0 \rightarrow a=0$    ou $ b=0$
si et seulement si
$ A$ intègre$ \sqcap$$ \sqcup$

Lemme Soit $ A$ un anneau. $ A$ est un corps si et seulement si $ A$ est non réduit à $ \{0\}$ et ses seuls idéaux sont $ \{0\}$ et $ A$.

Démonstration: $ \bullet $Supposons que les seuls idéaux de $ A$ soient $ \{0\}$ et $ A$.
Soit $ x$ dans $ A$, $ x \neq 0$, $ x.A$ est un idéal, autre que $ \{0\}$, donc il contient tout $ A$, donc en particulier il contient $ 1$, donc il est inversible.
$ \bullet $Réciproquement si $ A$ est un corps, alors soit $ x$ non nul appartenant à un idéal $ I$, alors $ I$ contient $ x.A$, donc $ x.x^{-1}.A$, donc $ A$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Dans un anneau principal, les idéaux premiers sont $ (0)$ et $ (p)$, avec $ p$ irréductible.

Démonstration: $ \bullet $Soit $ I$ un idéal premier et $ p\neq 0$ un élément de $ A$ tel que $ I=(p)$. Supposons que $ p=a.b$. Alors $ a.b \in (p)$, et donc puisque $ I$ est premier, $ a \in (p)$ ou $ b \in (p)$; on suppose $ a \in (p)$. Alors $ a=p.a'$. On a alors $ p.a'.b=p$, donc $ p(1-a'b)=0$, or $ A$ est intègre, donc $ a'.b=1$, donc $ b$ est une unité.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Dans un anneau principal, pour tout $ p$ irréductible, $ (p)$ est un idéal maximal.

Démonstration: Soit $ I=(p)$, avec $ p$ irréductible. Supposons $ I \subset J$, avec $ J$ inclus dans $ A$. Alors $ J=(q)$, et $ p=q.a$. Mais $ p$ étant irréductible, soit $ q=p.x$ avec $ x$ unité, soit $ q$ est une unité. Dans le premier cas, $ J=I$, et dans le deuxième cas, $ J=A$. $ \sqcap$$ \sqcup$

On va maintenant étudier la notion d'anneau quotient.
Cette notion n'est étudiée que dans le cas d'anneaux commutatifs.

Définition Etant donné $ I$ un idéal de $ A$, on définit une relation d'équivalence $ {\cal R}_I$ par

$\displaystyle a {\cal R}b \iff a-b \in I$

Alors l'ensemble quotient pour cette relation, muni des opérations induites par les opérations sur $ I$, est un anneau; on l'appelle anneau quotient de $ A$ par l'idéal $ I$, et on le note $ A/I$.

Il convient de vérifier que la relation est bien compatible avec les opérations définies sur l'anneau (vérification aisée).


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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