Définition [Idéal à gauche, idéal à droite]
On se donne
un anneau et une partie non vide de .
est un idéal à gauche (resp. à droite) de
si
est stable pour l'addition
est inclus dans (resp. est inclus dans )
est un idéal (parfois on dit idéal bilatère) si est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite.
et sont toujours des idéaux de ; on les appelle idéaux triviaux de . Les autres idéaux sont appelés idéaux non triviaux (on dit parfois aussi idéaux propres) de .
Exemples:Dans
, l'ensemble des matrices à première colonne nulle est un idéal à gauche, l'ensemble des matrices à première ligne nulle est un idéal à droite.
Propriétés:
Un idéal contenant ou toute autre unité de l'anneau est l'anneau tout entier.
La réunion d'une suite croissante d'idéaux est un idéal.
idéal de et idéal de ; alors
est un idéal de
.
L'intersection d'une famille d'idéaux est un idéal.
PropositionLe noyau d'un morphisme est un idéal.
L'image réciproque d'un idéal par un morphisme est un idéal.
L'image d'un idéal par un morphisme est un idéal de l'image de l'anneau (et pas nécessairement de l'anneau dans lequel l'image est incluse...).
Définition
Une intersection d'idéaux étant un idéal, on peut définir l'idéal engendré par une partie de comme l'intersection de tous les idéaux contenant cette partie. C'est donc aussi le plus petit idéal contenant cette partie. On note l'idéal engendré par .
Définition
On appelle idéal principal un idéal d'un anneau commutatif engendré un singleton . On note abusivement pour .
On appelle anneau principal un anneau intègre tel que tout idéal est principal.
Un idéal d'un anneau commutatif est dit idéal maximal s'il est différent de l'anneau tout entier et si tout idéal incluant est égal à ou à l'anneau lui-même.
On appelle somme d'une famille d'idéaux
l'ensemble des
avec fini inclus dans et
.
Un idéal est dit de type fini s'il est somme d'un nombre fini d'idéaux principaux.
Remarques:
Un anneau principal est donc commutatif, non réduit à , sans diviseur de 0; et tout idéal de cet anneau est principal.
On notera bien qu'un idéal maximal n'est pas un idéal qui est maximal... Il est en fait maximal parmi les idéaux propres.
Dans un anneau commutatif ,
.
Une somme d'idéaux est un idéal.
La somme des idéaux avec est l'idéal engendré par la famille des .
Nb: Un idéal de type fini est donc un idéal engendré par un nombre fini d'éléments.
Proposition
Si et sont associés alors .
Dans un anneau intègre il y a réciproque.
Démonstration:Facile au vu de la dernière remarque.
Il n'y a pas de réciproque dans le cas général !
Théorème [Théorème de Bezout] est supposé principal.
un générateur de
est un pgcd des .
, diviseur commun des , est pgcd des si et seulement s'il existe une famille
tels que
(relation de Bezout).
un générateur de
est un ppcm des .
Démonstration:
Le premier est simple: un tel générateur doit nécessairement diviser tous les , et il doit
nécessairement être dans l'idéal , et donc tout élément qui divise tous les , étant lui même un
générateur de , doit diviser .
Le second est une simple traduction du fait que soit bien dans et soit un générateur de .
Pour le troisième , donnons-nous un tel générateur; il appartient à , et donc
est un multiple de chaque ; et si est un autre multiple des , alors il est dans tous les , et donc appartient à , et donc est un multiple de .
Dans
ou
avec
un corps, il est utile de disposer d'un algorithme pratique permettant de découvrir une relation de Bezout entre et si une telle relation existe. Pour cela, il suffit de constater que et ont même pgcd que
et , pour tout dans , par exemple avec le quotient dans la division euclidienne de par . Si est divisible par , le pgcd de et est simplement ; sinon, on effectue une division euclidienne. Considérons un exemple pratique, cherchons le pgcd de et .
et
Donc
ce qui est bien la relation de Bezout attendue.
Cet algorithme est appelé algorithme d'Euclide.
Définition
Un idéal est dit premier si et seulement si est intègre.
Un élément d'un anneau est dit premier si et seulement l'idéal engendré par cet élément est premier.
PropositionUn idéal de est premier si et seulement s'il est différent
de et si implique
ou .
L'image réciproque d'un idéal premier par un homomorphisme d'anneaux
est un idéal premier.
La première de ces deux propriétés est fondamentale car c'est
généralement celle que l'on utilise pour montrer qu'un idéal
est premier.
Proposition
Un anneau commutatif est intègre si et seulement si est un idéal premier.
Démonstration:
idéal premier
si et seulement si
ou
si et seulement si
ou
si et seulement si
intègre
Lemme
Soit un anneau. est un corps si et seulement si est non réduit à
et ses seuls idéaux sont et .
Démonstration:Supposons que les seuls idéaux de soient et .
Soit dans , , est un idéal, autre que ,
donc il contient tout , donc en particulier il contient , donc il
est inversible.
Réciproquement si est un corps, alors soit non nul
appartenant à un idéal , alors contient , donc
, donc .
Proposition
Dans un anneau principal, les idéaux premiers sont et , avec
irréductible.
Démonstration:Soit un idéal premier et un élément de tel que .
Supposons que . Alors
, et donc puisque est premier,
ou ; on suppose . Alors . On
a alors , donc
, or est intègre, donc , donc est une unité.
Proposition
Dans un anneau principal, pour tout irréductible, est un idéal maximal.
Démonstration:
Soit , avec irréductible. Supposons
, avec
inclus dans . Alors , et . Mais étant irréductible,
soit avec unité, soit est une unité. Dans le premier cas,
, et dans le deuxième cas, .
On va maintenant étudier la notion d'anneau quotient.
Cette notion n'est étudiée que dans le cas d'anneaux commutatifs.
Définition
Etant donné un idéal de , on définit une relation d'équivalence
par
Alors l'ensemble quotient pour cette relation, muni des opérations induites par
les opérations sur , est un anneau; on l'appelle anneau quotient de
par l'idéal , et on le note .
Il convient de vérifier que la relation est bien compatible avec les opérations
définies sur l'anneau (vérification aisée).