Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
193 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Décomposition d'un homomorphisme d'anneaux et utilisation des idéaux next up previous index
suivant: Anneaux commutatifs monter: Anneaux précédent: Idéaux, anneaux quotients   Index


Décomposition d'un homomorphisme d'anneaux et utilisation des idéaux

Définition [Factorisation d'un homomorphisme] On dit que $ f$ homomorphisme d'un anneau $ A$ vers un anneau $ B$ se factorise par $ A/I$ avec $ I$ idéal de $ A$ si et seulement s'il existe $ g$ homomorphisme de $ A/I$ dans $ B$ tel que $ f(x)=g(\overline x)$.

Théorème Soit $ f$ un homomorphisme d'anneaux de $ A$ vers $ B$. Alors pour tout $ I$ idéal inclus dans $ Ker f$ , on définit $ x \to \overline x$ la projection canonique de $ A$ sur $ A/I$, et on a les propriétés suivantes:
$ \bullet $Il existe un unique homomorphisme $ g$ de $ A/I dans B$ tel que $ \forall x  f(x)=g(\overline x)$
$ \bullet $ $ Im f \simeq A/Ker f$
$ \bullet $$ g$ est injectif si et seulement si $ I=Ker f$
$ \bullet $$ g$ est surjectif si et seulement si $ f$ est surjectif

Proposition [Image et image réciproque d'un idéal par un homomorphisme] $ \bullet $L'image réciproque d'un idéal par un homomorphisme est un idéal
$ \bullet $ Si $ f$ est un homomorphisme surjectif, alors l'image d'un idéal par $ f$ est un idéal.

Proposition Soit $ I$ idéal de $ A$. Alors l'application $ \phi$ qui à un idéal $ J$ avec $ I\subset J \subset A$ associe la projection $ \overline J$ de $ J$ sur $ A/I$ est une bijection de l'ensemble des idéaux de $ A$ contenant $ I$ vers l'ensemble des idéaux de $ A/I$.

Démonstration: $ \bullet $ $ x \mapsto \overline x$ étant surjectif, il est clair que $ \phi$ associe bien un idéal à un idéal.
$ \bullet $Pour montrer que $ \phi$ est bijective, on considère l'application $ \psi$ qui à un idéal $ K$ de $ A/I$ associe $ \{a / \overline a \in K\}$. $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Un idéal $ I$ d'un anneau $ A$ est maximal si et seulement si $ A/I$ est un corps.

Démonstration: On utilise le lemme [*] et la propriété ci-dessus.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Tout idéal maximal est premier.

Démonstration: Supposons que $ I$, idéal maximal, contient $ a.b$, avec $ a\not\in I$ et $ b\not\in I$.
Alors la classe de $ a$ et la classe de $ b$ dans $ A/I$ sont non nulles, et leur produit est nul, d'où contradiction.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Krull] Pour tout idéal $ I$ de $ A$, $ I$ différent de $ A$, il existe un idéal maximal de $ A$ contenant $ I$.

Démonstration: Cette preuve nécéssite l'axiome du choix, via le théorème de Zorn (voir le lemme [*]).
$ \bullet $On considère l'ensemble des idéaux différents de $ A$ contenant $ I$ idéal de $ A$, ordonné par l'inclusion.
$ \bullet $Cet ensemble est inductif. En effet étant donnée une chaîne, on considère la réunion, c'est un idéal différent de $ A$ (en effet il ne contient pas $ 1$ par exemple).
$ \bullet $On peut donc considérer un élément maximal pour l'inclusion, et conclure que cet idéal est maximal.$ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Anneaux commutatifs monter: Anneaux précédent: Idéaux, anneaux quotients   Index
C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page