Décomposition d'un homomorphisme d'anneaux et utilisation des idéaux

Définition [Factorisation d'un homomorphisme] On dit que homomorphisme d'un anneau vers un anneau se factorise par avec idéal de si et seulement s'il existe homomorphisme de dans tel que .

Théorème Soit un homomorphisme d'anneaux de vers . Alors pour tout idéal inclus dans , on définit la projection canonique de sur , et on a les propriétés suivantes:
Il existe un unique homomorphisme de tel que

est injectif si et seulement si
est surjectif si et seulement si est surjectif

Proposition [Image et image réciproque d'un idéal par un homomorphisme] L'image réciproque d'un idéal par un homomorphisme est un idéal
Si est un homomorphisme surjectif, alors l'image d'un idéal par est un idéal.

Proposition Soit idéal de . Alors l'application qui à un idéal avec associe la projection de sur est une bijection de l'ensemble des idéaux de contenant vers l'ensemble des idéaux de .

Démonstration: étant surjectif, il est clair que associe bien un idéal à un idéal.
Pour montrer que est bijective, on considère l'application qui à un idéal de associe .

Proposition Un idéal d'un anneau est maximal si et seulement si est un corps.

Démonstration: On utilise le lemme et la propriété ci-dessus.

Corollaire Tout idéal maximal est premier.

Démonstration: Supposons que , idéal maximal, contient , avec et .
Alors la classe de et la classe de dans sont non nulles, et leur produit est nul, d'où contradiction.

Théorème [Krull] Pour tout idéal de , différent de , il existe un idéal maximal de contenant .

Démonstration: Cette preuve nécéssite l'axiome du choix, via le théorème de Zorn (voir le lemme ).
On considère l'ensemble des idéaux différents de contenant idéal de , ordonné par l'inclusion.
Cet ensemble est inductif. En effet étant donnée une chaîne, on considère la réunion, c'est un idéal différent de (en effet il ne contient pas par exemple).
On peut donc considérer un élément maximal pour l'inclusion, et conclure que cet idéal est maximal.