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Anneaux euclidiens

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Anneaux euclidiens

Cette notion n'est étudiée que dans le cas d'anneaux commutatifs.

Définition Un anneau commutatif est dit euclidien pour une application de $A\setminus \{0\}$ dans $\mathbb{N}$ , si pour tout dans et tout dans $A\setminus \{0\}$ il existe $(q,r)\in A^2$ tels que et ou .
Un anneau commutatif est dit euclidien s'il existe une application pour laquelle il est euclidien.

Proposition $\bullet$ $\mathbb{Z}$ est euclidien.
$\bullet$ $\mathbb{K}[X]$ est euclidien.

Démonstration: Considérer respectivement:
$\bullet$ $f(z)=\vert z\vert$
$\bullet$ (voir la démonstration de la division euclidienneen ) $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Etant donnée une application multiplicative (i.e. ) de $A\setminus \{0\}$ dans $\mathbb{N}\setminus\{0\}$ , avec anneau intègre, on prolonge multiplicativement sur le corps des fractions de en posant ( est maintenant à valeurs dans $\mathbb{Q}$ ). Alors est euclidien pour si et seulement si pour tout dans le corps des fractions il existe dans tel que .

Démonstration: Facile... $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Tout anneau euclidien est principal.

Démonstration: Soit un tel anneau (commutatif, euclidien). On se donne dans $I\setminus \{0\}$ tel que soit minimal. On note l'idéal engendré par , c'est à dire l'ensemble des pour $P\in \mathbb{K}[X]$ .
Pour tout dans , on utilise la définition ; alors $P \in I$ , $P_0 \in I$ , donc $P_0.Q \in I$ (par définition d'un idéal), et donc $R \in I$ ; or si est non nul, ce qui contredit la définition de , donc est nul, donc $P \in I'$ , donc et donc l'anneau est principal. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition $\mathbb{Z}[i]$ et $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ sont euclidiens.

Démonstration: Dans les deux cas on utilise la caractérisation de la proposition .
Dans le premier cas on choisit $f(a+i.b)=\vert a+i.b\vert$ pour et dans $\mathbb{Q}$ .
Dans le second cas on utilise $f(a+b.\sqrt2)=\vert a^2-2.b^2\vert$ si et dans $\mathbb{Z}$ .
Ce second choix est particulièrement instructif; $f(a+b.\sqrt d)=\vert a^2-d.b^2\vert$ sera souvent utile. $\sqcap$ $\sqcup$