Cette notion n'est étudiée que dans le cas d'anneaux commutatifs.
Définition
Un anneau commutatif est dit euclidien pour une application de
dans
, si pour tout dans et tout dans
il existe
tels que et ou .
Un anneau commutatif est dit euclidien s'il existe une application pour laquelle il est euclidien.
Proposition est euclidien.
est euclidien.
Démonstration:Considérer respectivement:
(voir la démonstration de la division euclidienneen )
Proposition
Etant donnée une application multiplicative (i.e.
) de
dans
, avec anneau intègre, on prolonge multiplicativement sur le corps des fractions de en posant
( est maintenant à valeurs dans
). Alors est euclidien pour si et seulement si pour tout dans le corps des fractions il existe dans tel
que .
Démonstration:Facile...
Proposition
Tout anneau euclidien est principal.
Démonstration:
Soit un tel anneau (commutatif, euclidien). On se donne dans
tel que
soit minimal. On note l'idéal engendré par , c'est à dire l'ensemble
des pour
.
Pour tout dans , on utilise la définition ; alors , ,
donc
(par définition d'un idéal), et donc ; or
si
est non nul, ce qui contredit la définition de , donc est nul, donc ,
donc et donc l'anneau est principal.
Proposition et
sont euclidiens.
Démonstration:
Dans les deux cas on utilise la caractérisation de la proposition .
Dans le premier cas on choisit
pour et dans
.
Dans le second cas on utilise
si et dans
.
Ce second choix est particulièrement instructif;
sera souvent utile.