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Anneaux euclidiens

Cette notion n'est étudiée que dans le cas d'anneaux commutatifs.

Définition Un anneau $ A$ commutatif est dit euclidien pour une application $ f$ de $ A\setminus \{0\}$ dans $ \mathbb{N}$, si pour tout $ a$ dans $ A$ et tout $ b$ dans $ A\setminus \{0\}$ il existe $ (q,r)\in A^2$ tels que $ a=b.q+r$ et $ r=0$ ou $ f(r)<f(b)$.
Un anneau $ A$ commutatif est dit euclidien s'il existe une application pour laquelle il est euclidien.

Proposition $ \bullet $ $ \mathbb{Z}$ est euclidien.
$ \bullet $ $ \mathbb{K}[X]$ est euclidien.

Démonstration: Considérer respectivement:
$ \bullet $$ f(z)=\vert z\vert$
$ \bullet $ $ f(P)=deg(P)$ (voir la démonstration de la division euclidienneen [*])$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Etant donnée $ f$ une application multiplicative (i.e. $ f(a.b)=f(a).f(b)$) de $ A\setminus \{0\}$ dans $ \mathbb{N}\setminus\{0\}$, avec $ A$ anneau intègre, on prolonge $ f$ multiplicativement sur le corps des fractions de $ A$ en posant $ f(a/b)=f(a)/f(b)$ ($ f$ est maintenant à valeurs dans $ \mathbb{Q}$). Alors $ A$ est euclidien pour $ f$ si et seulement si pour tout $ x$ dans le corps des fractions il existe $ a$ dans $ A$ tel que $ f(x-a)<1$.

Démonstration: Facile...$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Tout anneau euclidien est principal.

Démonstration: Soit $ A$ un tel anneau (commutatif, euclidien). On se donne $ P_0$ dans $ I\setminus \{0\}$ tel que $ f(P_0)$ soit minimal. On note $ I'$ l'idéal engendré par $ P_0$, c'est à dire l'ensemble des $ P_0.P$ pour $ P\in \mathbb{K}[X]$.
Pour tout $ P$ dans $ I$, on utilise la définition $ P=P_0.Q+R$; alors $ P \in I$, $ P_0 \in I$, donc $ P_0.Q \in I$ (par définition d'un idéal), et donc $ R \in I$; or $ f(R)<f(P_0)$ si $ R$ est non nul, ce qui contredit la définition de $ P_0$, donc $ R$ est nul, donc $ P \in I'$, donc $ I=I'$ et donc l'anneau est principal.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \mathbb{Z}[i]$ et $ \mathbb{Z}[\sqrt2]$ sont euclidiens.

Démonstration: Dans les deux cas on utilise la caractérisation de la proposition [*].
Dans le premier cas on choisit $ f(a+i.b)=\vert a+i.b\vert$ pour $ a$ et $ b$ dans $ \mathbb{Q}$.
Dans le second cas on utilise $ f(a+b.\sqrt2)=\vert a^2-2.b^2\vert$ si $ a$ et $ b$ dans $ \mathbb{Z}$.
Ce second choix est particulièrement instructif; $ f(a+b.\sqrt d)=\vert a^2-d.b^2\vert$ sera souvent utile.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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