Anneaux noethériens

Définition [Anneau noethérien] Un anneau commutatif dont tout idéal est de type fini est dit noethérien.

Proposition Un anneau commutatif est noethérien si et seulement si toute suite croissante d'idéaux est stationnaire à partir d'un certain rang.

Démonstration: Trop facile pour que nous le prouvions! Exercice pour le lecteur.

Proposition Un anneau commutatif est noethérien si et seulement si tout ensemble non vide d'idéaux de admet un élément maximal pour l'inclusion.

Démonstration: Rappelons juste qu'un élément maximal n'est pas nécessairement le plus grand élément, l'existence d'un élément maximal n'entraîne pas même celle d'un plus grand élément (voir les définitions en partie).

Proposition Tout anneau quotient d'un anneau noethérien est noethérien.
Un anneau principal est noethérien.

Démonstration: La proposition montre qu'un idéal du quotient est la projection d'un idéal, ce dernier étant de type fini, le projeté est de type fini.
Facile, tout idéal d'un anneau principal est engendré par un seul élément, donc par un nombre fini d'éléments.
La propriété annoncée pour les anneaux quotients n'est pas vraie pour les sous-anneaux.

Théorème [Théorème de Hilbert] Si est un anneau noethérien, alors pour tout est aussi un anneau noethérien.

Démonstration: Admis (preuve difficile).

:

Tout corps est un anneau noethérien, donc tout aussi.

est noethérien.