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Anneaux noethériens

Définition [Anneau noethérien] Un anneau commutatif dont tout idéal est de type fini est dit noethérien.

Proposition Un anneau commutatif est noethérien si et seulement si toute suite croissante d'idéaux est stationnaire à partir d'un certain rang.

Démonstration: Trop facile pour que nous le prouvions! Exercice pour le lecteur.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Un anneau commutatif $ A$ est noethérien si et seulement si tout ensemble non vide d'idéaux de $ A$ admet un élément maximal pour l'inclusion.

Démonstration: Rappelons juste qu'un élément maximal n'est pas nécessairement le plus grand élément, l'existence d'un élément maximal n'entraîne pas même celle d'un plus grand élément (voir les définitions en partie[*]).$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \bullet $Tout anneau quotient d'un anneau noethérien est noethérien.
$ \bullet $Un anneau principal est noethérien.

Démonstration: $ \bullet $La proposition [*] montre qu'un idéal du quotient est la projection d'un idéal, ce dernier étant de type fini, le projeté est de type fini.
$ \bullet $Facile, tout idéal d'un anneau principal est engendré par un seul élément, donc par un nombre fini d'éléments.$ \sqcap$$ \sqcup$
Attention! La propriété annoncée pour les anneaux quotients n'est pas vraie pour les sous-anneaux.

Théorème [Théorème de Hilbert] Si $ A$ est un anneau noethérien, alors pour tout $ n$ $ A[X_1,...,X_n]$ est aussi un anneau noethérien.

Démonstration: Admis (preuve difficile).$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque :

$ \bullet $Tout corps est un anneau noethérien, donc tout $ K[x_1,\dots,x_n]$ aussi.

$ \bullet $ $ \mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ est noethérien.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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