On a déjà vu les définitions, mais voici un rappel:
Un anneau est dit intègre si:
il est de cardinal il est commutatif
il est sans diviseur de 0
Définition [Définitions dans les anneaux intègres] et dans anneau intègre sont dits premiers entre eux si
et est une unité
De même les éléments d'une famille
sont dits premiers
entre eux si un élément divisant tous les est nécessairement une unité.
Corollaire [Théorème de Bezout]
Dans un anneau principal des éléments sont
premiers entre eux si et seulement s'il existe une famille
d'éléments de
telle que
soit une unité.
Proposition
Soit un anneau intègre, et l'application qui à dans
quotienté par la relation d'association associe l'idéal engendré par .
est un isomorphisme d'ordre entre
muni de la divisibilité et l'ensemble
des idéaux principaux de muni de l'inverse de l'inclusion.
Démonstration:Tout d'abord il est clair que est bien définie, car deux éléments associés
engendrent évidemment le même idéal.
L'application est surjective, par définition, puisqu'on considère l'ensemble des idéaux principaux.
Montrons que l'application est injective : si deux éléments et engendrent le même idéal alors et et donc et donc et sont des unités (car est intègre), et donc
.
Montrons qu'il s'agit d'un morphisme d'ordres :
- Si alors donc
et
clairement.
- Si
alors pour un certain et donc .