Anneaux intègres

On a déjà vu les définitions, mais voici un rappel: Un anneau est dit intègre si:
il est de cardinal
il est commutatif
il est sans diviseur de 0

Définition [Définitions dans les anneaux intègres] et dans anneau intègre sont dits premiers entre eux si

    et     est une unité

Corollaire [Théorème de Bezout] Dans un anneau principal des éléments sont premiers entre eux si et seulement s'il existe une famille d'éléments de telle que soit une unité.

Proposition Soit un anneau intègre, et l'application qui à dans quotienté par la relation d'association associe l'idéal engendré par . est un isomorphisme d'ordre entre muni de la divisibilité et l'ensemble des idéaux principaux de muni de l'inverse de l'inclusion.

Démonstration: Tout d'abord il est clair que est bien définie, car deux éléments associés engendrent évidemment le même idéal.
L'application est surjective, par définition, puisqu'on considère l'ensemble des idéaux principaux.
Montrons que l'application est injective : si deux éléments et engendrent le même idéal alors et et donc et donc et sont des unités (car est intègre), et donc .
Montrons qu'il s'agit d'un morphisme d'ordres :
- Si alors donc et clairement.
- Si alors pour un certain et donc .