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Anneaux intègres

On a déjà vu les définitions, mais voici un rappel: Un anneau est dit intègre si:
$ \bullet $il est de cardinal $ >1$
$ \bullet $il est commutatif
$ \bullet $il est sans diviseur de 0

Définition [Définitions dans les anneaux intègres] $ a$ et $ b$ dans $ A$ anneau intègre sont dits premiers entre eux si

$\displaystyle \forall x \in a x\vert a$    et $\displaystyle x\vert b \to x$    est une unité

De même les éléments d'une famille $ (a_i)_{i\in [1,n]}$ sont dits premiers entre eux si un élément divisant tous les $ a_i$ est nécessairement une unité.

Corollaire [Théorème de Bezout] Dans un anneau principal des éléments $ a_i$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe une famille $ {\lambda}_i$ d'éléments de $ A$ telle que $ \sum {\lambda}_i a_i$ soit une unité.

Proposition Soit $ A$ un anneau intègre, et $ \phi$ l'application qui à $ x$ dans $ A$ quotienté par la relation d'association $ {\cal R}$ associe l'idéal engendré par $ x$. $ \phi$ est un isomorphisme d'ordre entre $ A/{\cal R}$ muni de la divisibilité et l'ensemble des idéaux principaux de $ A$ muni de l'inverse de l'inclusion.

Démonstration: $ \bullet $Tout d'abord il est clair que $ \phi$ est bien définie, car deux éléments associés engendrent évidemment le même idéal.
$ \bullet $L'application est surjective, par définition, puisqu'on considère l'ensemble des idéaux principaux.
$ \bullet $Montrons que l'application est injective : si deux éléments $ a$ et $ b$ engendrent le même idéal alors $ b=b'.a$ et $ a=a'.b$ et donc $ b=b'.a'.b$ et donc $ b'$ et $ a'$ sont des unités (car $ A$ est intègre), et donc $ \overline b=\overline a$.
$ \bullet $Montrons qu'il s'agit d'un morphisme d'ordres :
- Si $ a\vert b$ alors $ b=a.c$ donc $ b.A =a.c.A \subset a.A$ et $ (b)\subset (a)$ clairement.
- Si $ (b)\subset (a)$ alors $ b=a.c$ pour un certain $ c$ et donc $ a\vert b$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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