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Anneaux factoriels

Cette notion n'est étudiée que dans le cadre d'anneaux commutatifs.

Définition [Anneau factoriel] Un anneau $ A$ est dit factoriel si:
$ \bullet $il est intègre
$ \bullet $tout $ a$ dans $ A$ s'écrit de manière unique à association près et à permutation près $ a=a'.p_1.p_2.....p_n$ avec $ a'$ unité et $ p_i$ irréductible pour tout $ i$.

Etant donné un élément $ p$ irréductible de $ A$ un anneau factoriel, on appelle valuation $ p$-adique de $ A$ pour $ a$ dans $ A$ le nombre d'occurences d'un élément associé à $ p$ dans la décomposition de $ a$ sous forme $ a=a'.p_1.....p_n$. On note généralement $ v_p(A)$ la valuation $ p$-adique de $ a$.

Proposition Etant donné $ A$ un anneau factoriel, on peut choisir un élément dans chaque classe d'équivalence de $ A$ pour la relation d'association $ {\cal R}$. L'ensemble de ces éléments permet de simplifier la décomposition de $ a \in A$ en $ a=a'.\Pi_{i \in A/{\cal R}} p_i^{v_{p_i}(a)}$, le support de $ i \mapsto v_{p_i}(a)$ étant fini.

Démonstration: Evident.$ \sqcap$$ \sqcup$

Voyons maintenant quelques propriétés intéressantes des anneaux factoriels.

Proposition Dans un anneau factoriel un élément est irréductible si et seulement s'il est premier.

Le lemme et le théorème qui suivent se démontrent très facilement, simplement en considérant les décompositions de $ x$, $ y$ et éventuellement $ z$ pour conclure.

Lemme [lemme d'Euclide] Si $ A$ est un anneau factoriel, alors si $ p$ est irréductible et divise $ x.y$, alors $ p$ divise $ x$ ou $ p$ divise $ y$.

Théorème [Théorème de Gauss] Si $ z$ divise $ x.y$ et si $ z$ est premier avec $ x$ alors $ z$ divise $ y$.

Application(s)... Un exemple d'application (parmi beaucoup d'autres) est le théorème [*].

Proposition Un anneau intègre noethérien vérifiant le lemme d'Euclide ou le théorème de Gauss est factoriel.

Démonstration: Admis.$ \sqcap$$ \sqcup$

Dans l'exemple ci-dessous on utilise le fait que $ \mathbb{Z}$ est factoriel.



Exemple Maple


$ > ifactor(200!);$

$\displaystyle (2)^{197}(3)^{97}(5)^{49}(7)^{32}(11)^{19}(13)^{16}(17)^{11}(19)^{10}(23)^{8}(29)^{6}(31)^{6}(37)^{5}(41)^{4}$

$\displaystyle (43)^{4}(47)^{4}(53)^{3}(59)^{3}(61)^{3}(67)^{2}(71)^{2}(73)^{2}(79)^{2}(83)^{2}(89)^{2}(97)^{2}(101)(103)$

$\displaystyle (107)(109)(113)(127)(131)(137)(139)(149)(151)(157)(163)(167)(173)(179)$

$\displaystyle (181)(191)(193)(197)(199)$






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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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