Cette notion n'est étudiée que dans le cadre d'anneaux commutatifs.
Définition [Anneau factoriel]
Un anneau est dit factoriel si:
il est intègre tout dans s'écrit de manière unique à association près et à permutation près
avec unité et irréductible pour tout .
Etant donné un élément irréductible de un anneau factoriel, on appelle valuation -adique de pour dans le nombre d'occurences d'un élément associé à dans la décomposition de sous forme
. On note généralement la valuation -adique de .
Proposition
Etant donné un anneau factoriel, on peut choisir un élément dans chaque classe d'équivalence de pour la relation d'association . L'ensemble de ces éléments permet de simplifier la décomposition de en
, le support de
étant fini.
Démonstration:Evident.
Voyons maintenant quelques propriétés intéressantes des anneaux factoriels.
Proposition
Dans un anneau factoriel un élément est irréductible si et seulement s'il est premier.
Le lemme et le théorème qui suivent se démontrent très facilement, simplement en considérant les décompositions de , et éventuellement pour conclure.
Lemme [lemme d'Euclide]
Si est un anneau factoriel, alors si est irréductible et divise , alors divise ou divise .
Théorème [Théorème de Gauss]
Si divise et si est premier avec alors divise .
Un exemple d'application (parmi beaucoup d'autres) est le théorème .
Proposition
Un anneau intègre noethérien vérifiant le lemme d'Euclide ou le théorème de Gauss
est factoriel.
Démonstration:Admis.
Dans l'exemple ci-dessous on utilise le fait que
est factoriel.
est dit factoriel
il est intègre
dans 
avec 
unité et 
irréductible
.
irréductible de 
. On note généralement 
la valuation 
. L'ensemble de ces éléments permet de simplifier la décomposition de 
en
, le support de
étant fini.
, 
et éventuellement 
pour conclure.
, alors 
Un exemple d'application (parmi beaucoup d'autres) est le théorème ![[*]](/images/crossref.png)
est factoriel.
