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Extensions de corps

Définition Un sous-anneau $ L$ de l'anneau sous-jacent à un corps $ K$ est un sous-corps de $ K$ si c'est un corps pour les lois induites.
Si $ L$ est un sous-corps de $ K$, on dit que $ K$ est un sur-corps ou une extension de $ L$.
Avec $ L$ sous-corps de $ K$, et $ A \subset K$, on dit que $ A$ engendre $ K$ sur $ L$ si $ K$ est le plus petit sous-corps de $ K$ contenant $ A$ et $ L$. On note alors $ K=L(A)$. Si $ A$ est fini on note $ K=L(a_1,...,a_n)$. L'extension est dite monogène si $ A$ contient un seul élément.

Théorème Etant donné un anneau intègre $ A$, il existe un unique corps $ K$ (à isomorphisme près) contenant un anneau intègre $ B$ isomorphe à $ A$ et tel que tout sous-corps de $ K$ contenant $ B$ soit $ K$ lui-même.

Démonstration: On procède selon les étapes suivantes pour montrer l'existence:
$ \bullet $On considère les classes d'équivalences sur $ A\times A$ pour la relation $ {\cal R}$ définie par $ (x,y) {\cal R}(x',y') \iff xy'=x'y$ (intuitivement les classes d'équivalence sont les fractions). Appelons $ K$ l'ensemble quotient ainsi obtenu.
$ \bullet $On considère ensuite l'addition sur ces classes, facile à retrouver au vu de la considération sur les fractions; il s'agit de $ (x,y)+(x',y')=(xy'+x'y,yy')$. De même la multiplication est définie par $ (a,b).(a',b')=(aa',bb')$. Il est facile de voir que ces lois vérifient toutes les propriétés souhaitées, et qu'elles sont bien définies dans la structure quotient. On trouve un élément $ (0,1)$ neutre pour l'addition, et un élément $ (1,1)$ neutre pour la multiplication.
$ \bullet $L'application qui à $ x$ associe $ (x,1)$ est un morphisme injectif de $ A$ dans $ K$. C'est donc un isomorphisme de $ A$ sur son image $ A'$.
$ \bullet $Etant donné un sous-corps de $ K$ contenant $ A'$, il contient nécéssairement les quotients d'éléments de $ A'$, et donc $ K$ tout entier.
$ \bullet $Il ne reste plus qu'à vérifier l'unicité de $ K$, à isomorphisme près. Cette tâche est laissée au lecteur.$ \sqcap$$ \sqcup$

Applications:
$ \bullet $Construction de $ \mathbb{Q}$ à partir de $ \mathbb{Z}$.
$ \bullet $Construction du corps des fractions rationnelles, à partir de l'anneau des polynômes.

Proposition $ \bullet $Si $ L$ est un sous-corps de $ K$, alors $ K$ est un $ L$-espace vectoriel.
$ \bullet $Si la dimension de $ K$ en tant que $ L$-espace vectoriel est finie alors on l'appelle degré de $ K$ pour $ L$ et on le note $ [K:L]$.
$ \bullet $Si $ K$ et $ L$ sont finis, alors $ \vert K\vert=\vert L\vert^{[K:L]}$.

Démonstration: Le premier point est clair.
Le second point est une définition.
Le troisième point est clair.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Théorème des bases téléscopiques] Si $ M \subset L \subset K$ (tous trois des corps) alors si $ e_i$ est une base de $ K$ en tant que $ L$-espace vectoriel et si $ f_j$ est une base de $ L$ en tant que $ M$-espace vectoriel , alors $ e_i.f_j$ est une base de $ K$ en tant que $ M$-espace vectoriel . Donc $ [K:M]=[K:L].[L:M]$.
Démonstration: Facile.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Différentes extensions de corps]

Si $ L$ est une extension du corps $ K$, alors un élément $ a$ de $ L$ est dit algébrique sur $ K$ s'il existe un polynôme $ P$ à coefficients dans $ K$ tel que $ P(a)=0$. Un nombre réel est souvent dit simplement algébrique s'il est algébrique sur $ \mathbb{Q}$. L'ensemble des éléments de $ L$ algébriques sur $ K$ est appelée extension algébrique de $ K$ dans $ L$.

Etant donné $ K$ un corps et $ P\in K[X]$, on appelle corps de rupture de $ P$ un sur-corps $ L$ de $ K$ dans lequel $ P$ admet une racine $ a$ et tel que $ L=K(a)$.

Etant donné $ K$ un corps et $ P\in K[X]$, on appelle corps de décomposition de $ P$ un sur-corps $ L$ de $ K$ dans lequel $ P$ est scindé et $ L=K(Z)$, avec $ Z$ l'ensemble des zéros de $ P$ dans $ L$.

Etant donné $ K$ un corps, on appelle cloture algébrique de $ K$ une extension de $ K$ algébriquement close et dont tous les éléments soient algébriques sur $ K$.

On a existence du corps de décomposition, et existence du corps de rupture lorsque le polynôme est irréductible. Dans les deux cas, on a unicité à isomorphisme près. Le théorème de Steinitz (difficile) montre que tout corps admet une cloture algébrique, unique à isomorphisme près.

Démonstration: (de l'existence du corps de rupture) Le corps $ K(X)/(P)$ convient (ie le quotient de $ K$ par l'idéal engendré par $ P$). $ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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