Extensions de corps

Définition Un sous-anneau de l'anneau sous-jacent à un corps est un sous-corps de si c'est un corps pour les lois induites.
Si est un sous-corps de , on dit que est un sur-corps ou une extension de .
Avec sous-corps de , et , on dit que engendre sur si est le plus petit sous-corps de contenant et . On note alors . Si est fini on note . L'extension est dite monogène si contient un seul élément.

Théorème Etant donné un anneau intègre , il existe un unique corps (à isomorphisme près) contenant un anneau intègre isomorphe à et tel que tout sous-corps de contenant soit lui-même.

Démonstration: On procède selon les étapes suivantes pour montrer l'existence:
On considère les classes d'équivalences sur pour la relation définie par (intuitivement les classes d'équivalence sont les fractions). Appelons l'ensemble quotient ainsi obtenu.
On considère ensuite l'addition sur ces classes, facile à retrouver au vu de la considération sur les fractions; il s'agit de . De même la multiplication est définie par . Il est facile de voir que ces lois vérifient toutes les propriétés souhaitées, et qu'elles sont bien définies dans la structure quotient. On trouve un élément neutre pour l'addition, et un élément neutre pour la multiplication.
L'application qui à associe est un morphisme injectif de dans . C'est donc un isomorphisme de sur son image .
Etant donné un sous-corps de contenant , il contient nécéssairement les quotients d'éléments de , et donc tout entier.
Il ne reste plus qu'à vérifier l'unicité de , à isomorphisme près. Cette tâche est laissée au lecteur.

Applications:
Construction de à partir de .
Construction du corps des fractions rationnelles, à partir de l'anneau des polynômes.

Proposition Si est un sous-corps de , alors est un -espace vectoriel.
Si la dimension de en tant que -espace vectoriel est finie alors on l'appelle degré de pour et on le note .
Si et sont finis, alors .

Démonstration: Le premier point est clair.
Le second point est une définition.
Le troisième point est clair.

Théorème [Théorème des bases téléscopiques] Si (tous trois des corps) alors si est une base de en tant que -espace vectoriel et si est une base de en tant que -espace vectoriel , alors est une base de en tant que -espace vectoriel . Donc .
Démonstration: Facile.

Définition [Différentes extensions de corps]

Si est une extension du corps , alors un élément de est dit algébrique sur s'il existe un polynôme à coefficients dans tel que . Un nombre réel est souvent dit simplement algébrique s'il est algébrique sur . L'ensemble des éléments de algébriques sur est appelée extension algébrique de dans .

Etant donné un corps et , on appelle corps de rupture de un sur-corps de dans lequel admet une racine et tel que .

Etant donné un corps et , on appelle corps de décomposition de un sur-corps de dans lequel est scindé et , avec l'ensemble des zéros de dans .

Etant donné un corps, on appelle cloture algébrique de une extension de algébriquement close et dont tous les éléments soient algébriques sur .

On a existence du corps de décomposition, et existence du corps de rupture lorsque le polynôme est irréductible. Dans les deux cas, on a unicité à isomorphisme près. Le théorème de Steinitz (difficile) montre que tout corps admet une cloture algébrique, unique à isomorphisme près.

Démonstration: (de l'existence du corps de rupture) Le corps convient (ie le quotient de par l'idéal engendré par ).