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Corps finis

Proposition Un anneau intègre fini est un corps.

Démonstration: Si un anneau est intègre, l'application $ x\mapsto yx$ est bijective pour tout $ y$. En particulier, il existe $ x$ tel que $ yx=1$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Un corps fini n'est jamais algébriquement clos.

Démonstration: Facile; il suffit de considérer le polynôme $ \Pi_{k\in K} (X-k)+1$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Quel que soit $ p$ premier, quel que soit $ n$ dans $ \mathbb{N}$ non nul, il existe un unique corps, à isomorphisme près, de cardinal $ p^n$. Tout corps fini est de cette forme.

Théorème [Wedderburn] Tout corps fini est commutatif.

Démonstration: Ces résultat, non triviaux, ne seront pas prouvés ici. On pourra consulter [14] pour une preuve compréhensible.$ \sqcap$$ \sqcup$

Enfin deux résultats (non triviaux) donnés sans preuve:

Proposition Le groupe des automorphismes d'un corps fini de cardinal $ p^n$ est cyclique, d'ordre $ n$, engendré par $ x \mapsto x^n$.

Proposition Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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