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Représentation $ p$-adique des réels

Définition On se donne un entier $ p>1$. On appelle représentation $ p$-adique du réel $ x$ la suite d'entiers $ (c_n)_{n\in \mathbb{N}}$ définie par

$\displaystyle c_n=\left\{ \begin{array}{c}E(x) \mbox{ si $n=0$}\\ \frac{1}{p^n}E(p^nx)-pE(p^{n-1}x) \mbox{ sinon} \end{array}\right.$

($ E(y)$ désignant la partie entière de $ y$).

Théorème [Caractérisation du développement $ p$-adique]

Théorème Le développement $ p$-adique de $ x\in \mathbb{R}$ est périodique à partir d'un certain rang si et seulement si $ x$ est rationnel.

Démonstration:

$ \bullet\ $Supposons tout d'abord le développement périodique.

Alors $ x$ est somme des $ c_np^{-n}$ pour $ n\in \mathbb{N}$. Vue la périodicité, cette somme se réécrit comme somme d'un rationnel et de $ \sum_{n\geq N} \frac{a}{(p^{-k})^n}$, avec $ a$ dans $ \mathbb{N}$, et donc $ x$ est somme d'un rationnel et de $ \frac{ap^{-kN}}{1-p^{-k}}$, et donc $ x$ est rationnel.

$ \bullet\ $Réciproquement supposons que $ x$ soit rationnel.

- On peut écrire $ x=a/b$ avec $ a$ et $ b$ dans $ \mathbb{N}$ (on se limite au cas $ x>0$, les autres cas étant similaires)

- On définit $ x_0=a$, et par récurrence $ x_{n+1}=(x_n-bc_n)p$, avec $ c_n$ le quotient dans la division euclidienne de $ x_n$ par $ b$.

- On montre facilement par récurrence que $ 0\leq x_i<bp$ pour tout $ i$ et que les $ c_i$ sont le développement $ p$-adique de $ x$.

- les $ x_i$ étant bornés, on passe nécéssairement deux fois par la même valeur; à partir de ce moment, le développement est clairement périodique.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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