Définition
On se donne un entier .
On appelle représentation -adique du réel la suite d'entiers
définie
par
( désignant la partie entière de ).
Théorème [Caractérisation du développement -adique]
Théorème
Le développement -adique de
est périodique à partir d'un certain rang si et seulement si
est rationnel.
Démonstration:
Supposons tout d'abord le développement périodique.
Alors est somme des pour
. Vue la périodicité, cette somme se réécrit
comme somme d'un rationnel et de
, avec dans
, et
donc est somme d'un rationnel et de
, et donc est rationnel.
Réciproquement supposons que soit rationnel.
- On peut écrire avec et dans
(on se limite au cas , les autres cas étant similaires)
- On définit , et par récurrence
, avec le quotient dans la division euclidienne de par .
- On montre facilement par récurrence que
pour tout et que les sont le développement -adique de .
- les étant bornés, on passe nécéssairement deux fois par la même valeur; à partir de ce moment, le développement est clairement périodique.
-adique des réels
.
On appelle représentation 
la suite d'entiers
définie
par
désignant la partie entière de 
).
est périodique à partir d'un certain rang si et seulement si 
Supposons tout d'abord le développement périodique.
pour
. Vue la périodicité, cette somme se réécrit
comme somme d'un rationnel et de
, avec 
dans
, et
donc 
, et donc 
avec 
dans
, les autres cas étant similaires)
, et par récurrence
, avec 
le quotient dans la division euclidienne de 
par 
pour tout 
et que les 
sont le développement 
étant bornés, on passe nécéssairement deux fois par la même valeur; à partir de ce moment, le développement est clairement périodique.
