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Fractions continues

Définition [Fractions continues]

Une fraction continue est un objet de la forme suivante:

$\displaystyle [a_0,a_1,\dots,a_n,\dots]= a_0+\frac{1}{a_1+ \frac{1}{a_2+\frac1{a_3+\dots}}} $

Elle est caractérisée par une suite d'entiers qui est finie ou infinie.

On appelle convergents d'une fraction continue la suite de numérateurs $ p_n$ et de dénominateurs $ q_n$ définis par:

  • $ p_0=a_0$, $ q_0=1$

  • $ p_1=a_0a_1+1$, $ q_1=1$

  • &vellip#vdots;,&vellip#vdots;

  • $ p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}$, $ q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}$

Propriétés:

  • A tout nombre réel on peut associer un et un seul développement en fraction continue.

  • Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction continue finie (ex $ \frac13=0+\frac1{2+1}$).

  • Seuls les nombres rationnels peuvent être représentés par une fraction continue finie.

  • Un nombre est quadratique (ie solution d'une équation du second degré à coefficients dans $ \mathbb{Z}$) si et seulement si son développement en fraction continue est périodique.

  • Une fraction continue est liée à ses convergents par les relations $ [a_0,\dots,a_n]=p_n/q_n$ et $ [a_0,\dots,a_n,\dots]=\lim_n \frac{p_n}{q_n}$. En outre avec

    $\displaystyle [a_0,\dots,a_n]=\frac{p_n}{q_n},$

    $\displaystyle \vert[a_0,\dots,a_n]-[a_0,\dots,a_n,\dots]\vert < 1/q_n^2.$

Théorème [Formule d'Euler] Supposons les $ a_i$ tous non nuls.

Alors $ 1/a_1 - 1/a_2 + 1/a_3 - 1/a_4 + ... + (-1)^n /a_n=$

$\displaystyle \frac1{a_1+\frac{a_1^2}{a_2-a_1+\frac{a_1^2}{a_3-a_2+\frac{a_3^2}{\ddots+\frac{\ddots}{a_{n-1}-a_{n-2}+\frac{a_{n-1}^2}{a_n-a_{n-1}}}} }}}$


Démonstration:

$ \bullet\ $Pour $ n=1$, le résultat est clair.

$ \bullet\ $Au rang $ 2$, un calcul rapide montre que le résultat est encore valable.

$ \bullet\ $On procède ensuite par récurrence, en supposant l'égalité vraie pour $ n-1$ et les rangs inférieurs.

$ \bullet\ $Dans l'égalité pour $ n-1$, on remplace $ a_n$ par $ \frac{a_n.a_{n+1}}{a_{n+1}-a_n}$

$ \bullet\ $Le résultat en découle tout seul...$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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