Une fraction continue est un objet de la forme suivante:
Elle est caractérisée par une suite d'entiers qui est finie ou infinie.
On appelle convergents d'une fraction continue la suite de numérateurs
et de dénominateurs définis par:
,
,
&vellip#vdots;,&vellip#vdots;
,
Propriétés:
A tout nombre réel on peut associer un et un seul développement en fraction continue.
Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction continue finie (ex
).
Seuls les nombres rationnels peuvent être représentés par une fraction continue finie.
Un nombre est quadratique (ie solution d'une équation du second degré à coefficients dans
) si et seulement si son développement en fraction continue est périodique.
Une fraction continue est liée à ses convergents par les relations
et
. En outre avec
Théorème [Formule d'Euler]
Supposons les tous non nuls.
Alors
Démonstration:
Pour , le résultat est clair.
Au rang , un calcul rapide montre que le résultat est encore valable.
On procède ensuite par récurrence, en supposant l'égalité vraie pour et les rangs inférieurs.
![$\displaystyle [a_0,a_1,\dots,a_n,\dots]= a_0+\frac{1}{a_1+ \frac{1}{a_2+\frac1{a_3+\dots}}} $](/b/c/d/img39.png)
et de dénominateurs 
définis par:
, 
, 
,
).
) si et seulement si son développement en fraction continue est périodique.
![$ [a_0,\dots,a_n]=p_n/q_n$](/b/c/d/img50.png){kind=small}
et
![$ [a_0,\dots,a_n,\dots]=\lim_n \frac{p_n}{q_n}$](/b/c/d/img51.png){kind=small}
. En outre avec
![$\displaystyle [a_0,\dots,a_n]=\frac{p_n}{q_n},$](/b/c/d/img52.png){kind=small}
![$\displaystyle \vert[a_0,\dots,a_n]-[a_0,\dots,a_n,\dots]\vert < 1/q_n^2.$](/b/c/d/img53.png){kind=small}
tous non nuls.
Pour 
, le résultat est clair.
, un calcul rapide montre que le résultat est encore valable.
et les rangs inférieurs.
par
