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Fractions continues

Définition [Fractions continues]

Une fraction continue est un objet de la forme suivante:

$\displaystyle [a_0,a_1,\dots,a_n,\dots]= a_0+\frac{1}{a_1+ \frac{1}{a_2+\frac1{a_3+\dots}}}$

Elle est caractérisée par une suite d'entiers qui est finie ou infinie.

On appelle convergents d'une fraction continue la suite de numérateurs et de dénominateurs définis par:

,
,
&vellip#vdots;,&vellip#vdots;
$p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}$ , $q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}$

Propriétés:

A tout nombre réel on peut associer un et un seul développement en fraction continue.
Tout nombre rationnel peut être représenté par une fraction continue finie (ex $\frac13=0+\frac1{2+1}$ ).
Seuls les nombres rationnels peuvent être représentés par une fraction continue finie.
Un nombre est quadratique (ie solution d'une équation du second degré à coefficients dans $\mathbb{Z}$ ) si et seulement si son développement en fraction continue est périodique.
Une fraction continue est liée à ses convergents par les relations $[a_0,\dots,a_n]=p_n/q_n$ et $[a_0,\dots,a_n,\dots]=\lim_n \frac{p_n}{q_n}$ . En outre avec

$\displaystyle [a_0,\dots,a_n]=\frac{p_n}{q_n},$

$\displaystyle \vert[a_0,\dots,a_n]-[a_0,\dots,a_n,\dots]\vert < 1/q_n^2.$

Théorème [Formule d'Euler] Supposons les tous non nuls.

Alors

$\displaystyle \frac1{a_1+\frac{a_1^2}{a_2-a_1+\frac{a_1^2}{a_3-a_2+\frac{a_3^2}{\ddots+\frac{\ddots}{a_{n-1}-a_{n-2}+\frac{a_{n-1}^2}{a_n-a_{n-1}}}} }}}$