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Division suivant les puissances croissantes

Théorème [Division suivant les puissances croissantes] Soit $ n \in \mathbb{N}$, $ C$ et $ D$ des polynômes à une indéterminée sur un même anneau $ A$ commutatif et unitaire.

On suppose que $ D(0)$ (en tant qu'élément de $ A$), est inversible.

Alors il existe deux polynômes $ Q$ et $ R$ vérifiant

$\displaystyle C=DQ+X^{n+1}R$

$\displaystyle \deg Q \leq n$

$ Q$ et $ R$ sont appelés respectivement quotient et reste de la division suivant les puissances croissantes de $ C$ par $ D$ à l'ordre $ n$.


Démonstration: La preuve se fait par récurrence inverse sur la valuation de $ C$. Si cette valuation est supérieure ou égale à $ n+1$, le résultat est clair. La suite est facile...$ \sqcap$$ \sqcup$

Application(s)... Cela servira notamment pour les développements limités de quotients (voir proposition [*], ou pour la décomposition de fractions rationnelles en éléments simples (voir proposition ....).

Voyons un exemple concret, la division suivant les puissances croissantes de $ X^3+2X^2+2$ par $ X+2$:

\begin{displaymath}
\begin{array}{crc\vert l}
& X^3+2X^2+2 & & X+2 \\
\cline{4-4}
-& X+2 & & 1 \\
\cline{2-2}
& X^3+2X^2-X & &
\end{array}\end{displaymath}

Donc $ X^3+2X^2+2=(X+2)(1)+(X^2+2X-1)X$, c'est la division suivant les puissances croissantes à l'ordre 0. Continuons:

\begin{displaymath}
\begin{array}{crc\vert l}
& X^3+2X^2+2 & & X+2 \\
\cline{4...
...2}2-X & & \\
\cline{2-2}
& X^3+\frac52X^2 & & \\
\end{array}\end{displaymath}

Donc $ X^3+2X^2+2=(X+2)(1-\frac X2)+(X+\frac52)X^2$, c'est la division suivant les puissances croissantes à l'ordre $ 1$. Continuons encore:

\begin{displaymath}
\begin{array}{crc\vert l}
& X^3+2X^2+2 & & X+2 \\
\cline{4...
... \frac52X^2 & & \\
\cline{2-2}
& -\frac14X^3 & &
\end{array}\end{displaymath}

Donc, division suivant les puissances croissantes à l'ordre $ 2$, $ X^3+2X^2+2=(X+2)(1-\frac X2+\frac54X^2)-\frac14 X^3$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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