Définition
On suppose donné
, . On suppose donnée une fonction de dans
continue. Enfin on suppose que pour tout ,
est convergente 1.1. On note alors l'ensemble des fonctions de dans
telles que
L'ensemble des polynômes est inclus dans , muni du produit scalaire suivant:
est un espace de Hilbert.
Il existe alors une suite de polynômes
, telle que , et telle
que les forment une famille orthogonale.
Démonstration:Le résultat découle simplement de l'orthogonalisation de Schmidt (proposition ) appliquée à
. Le fait que le degré de est provient simplement des propriétés de l'orthogonalisation de Schmidt, ie le fait que appartient à l'espace engendré par
. Le fait que ce degré est provient simplement du
fait que s'il existait un de degré , alors la famille
serait une famille libre (puisqu'orthogonale) et située dans un espace de dimension ; ce qui contredit le lemme de Steinitz .
Les polynômes orthogonaux ont de multiples applications, que l'on pourra trouver par exemple
dans le livre [9].
On pourra consulter l'exemple Maple qui se trouve suite à l'orthogonalisation de Schmidt (voir proposition ).
, 
. On suppose donnée une fonction 
de ![$ ]a,b[$](/b/c/e/img168.png){kind=small}
dans
continue. Enfin on suppose que pour tout 
,
est convergente 
l'ensemble des fonctions de 
telles que
, telle que 
, et telle
que les 
forment une famille orthogonale.
![[*]](/images/crossref.png)
. Le fait que le degré de 
provient simplement des propriétés de l'orthogonalisation de Schmidt, ie le fait que 
. Le fait que ce degré est 
provient simplement du
fait que s'il existait un 
, alors la famille
serait une famille libre (puisqu'orthogonale) et située dans un espace de dimension 
et 
, ou bien 
et 
quelconques et
.
