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Polynômes orthogonaux

Définition On suppose donné $ (a,b)\in \overline \mathbb{R}^2$, $ a<b$. On suppose donnée une fonction $ w$ de $ ]a,b[$ dans $ \mathbb{R}_+^*$ continue. Enfin on suppose que pour tout $ n$, $ \int_a^b x^nw(x)dx$ est convergente 1.1. On note alors $ E$ l'ensemble des fonctions de $ ]a,b[$ dans $ \mathbb{R}$ telles que

$\displaystyle {\parallel}f {\parallel}_2 :=\sqrt{ \int_a^b \vert f(x)\vert^2w(x)dx }<\infty$

L'ensemble des polynômes est inclus dans $ E$, $ E$ muni du produit scalaire suivant:

$\displaystyle <f,g>=\int_a^b f(x)g(x)w(x)dx$

est un espace de Hilbert.

Il existe alors une suite de polynômes $ (P_n)_{n\in \mathbb{N}}$, telle que $ deg P_n=n$, et telle que les $ P_n$ forment une famille orthogonale.

Démonstration: Le résultat découle simplement de l'orthogonalisation de Schmidt (proposition [*]) appliquée à $ 1,X,X^2,X^3,...$. Le fait que le degré de $ P_n$ est $ \leq n$ provient simplement des propriétés de l'orthogonalisation de Schmidt, ie le fait que $ P_n$ appartient à l'espace engendré par $ 1,X,...,X^n$. Le fait que ce degré est $ \geq n$ provient simplement du fait que s'il existait un $ P_n$ de degré $ <n$, alors la famille $ P_0,...,P_n$ serait une famille libre (puisqu'orthogonale) et située dans un espace de dimension $ n$; ce qui contredit le lemme de Steinitz [*].

Les polynômes orthogonaux ont de multiples applications, que l'on pourra trouver par exemple dans le livre [9].

On pourra consulter l'exemple Maple qui se trouve suite à l'orthogonalisation de Schmidt (voir proposition [*]).



Notes

... convergente1.1
Un cas classique est $ (a,b)\in \mathbb{R}^2$ et $ w=1$, ou bien $ a$ et $ b$ quelconques et $ w(x)=e^{-x^2}$.

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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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