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Polynômes de Tchebycheff de première espèce

Théorème

$\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}\exists T_n \in \mathbb{R}[X]/ \deg T_n \leq n \land \forall t \cos(nt)=T_n(cos(t))$

$ T_n$ est appelé polynôme de Tchebycheff de permière espèce.

Démonstration:

$ \bullet $Soit $ n\in N$. On a

$\displaystyle e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n=\sum_{k=0}^n C_n^k \cos(x)^{n_k}\sin(x)^k(i)^k$

$ \bullet $En prenant les parties réelles:

$\displaystyle cos(nx)=\sum_{k=0}^{k\leq n/2} C_n^{2k} cos(x)^{n-2k}(-1)^k (1-cos(x)^2)^k$

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition

$\displaystyle T_n=2^{n-1}\pi_{k=0}^{n-1} (X-\cos(\frac{2k+1}{2n} \pi))$


Démonstration: Il suffit de vérifier que le coefficient dominant est le bon, que le degré est le bon, et que les $ \cos(\frac{2k+1}{2n} \pi)$ sont bien des racines.$ \sqcap$$ \sqcup$



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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