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Tout polynôme positif est somme de deux carrés

Théorème Soit $ P$ un polynôme appartenant à $ \mathbb{R}[X]$.

On suppose en outre que $ P$ est positif sur $ \mathbb{R}$.

Alors $ P$ est somme de deux carrés.

Démonstration: $ \bullet $Soit $ Cool$ l'ensemble des polynômes qui s'expriment comme somme de deux carrés.

$ \bullet $Alors $ Cool$ contient tous les polynômes de la forme $ (x-a)^n$, pour $ n$ pair.

$ \bullet $Tout polynôme irréductible unitaire de degré $ 2$ est dans $ Cool$. En effet, $ X^2+b.X+c$ est égal à $ (X-\frac{b}2)^2+(c-\frac{b^2}{4})$, qui est bien une somme de deux carrés si $ c-\frac{b^2}{4}$

$ \bullet $Du coup, tout polynôme irréductible de degré $ 2$ à coefficient dominant $ >0$ est dans $ Cool$.

$ \bullet $Si $ P$ et $ Q$ sont dans $ Cool$, alors $ PQ$ est dans $ Cool$ ($ Cool$ est stable par multiplication). En effet, avec $ P=A^2+B^2$ et $ Q=C^2+D^2$:

$\displaystyle (A^2+B^2).(C^2+D^2)=(AD+BC)^2+(AC-BD)^2$

$ \bullet $$ Cool$ contient les polynômes positifs dépourvus de racine. En effet, soit $ P$ sans racine; il est produit de polynômes irréductibles. Le coefficient dominant est positif, au vu de l'équivalent en $ \pm \infty$, donc on peut l'exprimer comme produit de polynômes irréductibles de degré $ 2$ à coefficients dominants positifs.

$ \bullet $Soit $ P$ un polynôme positif. On a déjà vu que s'il n'admet pas de racine il est dans $ Cool$. On suppose maintenant qu'il admet des racines, par exemple une racine $ a$. Soit $ n$ maximal tel que $ (X-a)^n$ divise $ P$. $ P=(X-a)^nQ$ est équivalent en $ a$ à $ Q(a)(X-a)^n$; donc $ n$ doit être pair pour que le signe de $ P$ puisse être positif. En supposant par récurrence que pour les degrés inférieurs à celui de $ P$ le résultat est acquis, on conclut que $ Q$ et $ X-a$ sont dans $ Cool$, et donc que $ P$ est dans $ Cool$.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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