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Généralités

Définition Soit $ A$ un anneau commutatif unitaire (resp. $ \mathbb{K}$ un corps).

L'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang d'éléments de $ A$, noté $ A^{(\mathbb{N})}$, est un $ A$-module (resp. un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel ) pour l'addition et la multiplication par un scalaire usuelles. En le munissant en outre du produit suivant:

$\displaystyle \times : (u,v) \mapsto w$    avec $\displaystyle w_n=\sum_{i+j=n} u_i.v_j$

On obtient une $ A$-algèbre (resp. $ \mathbb{K}$-algèbre), notée $ A[X]$ (resp. $ \mathbb{K}[X]$).
Les éléments de $ \mathbb{K}[X]$ sont appelés polynômes.
Deux polynômes $ P$ et $ Q$ non nuls sont dits associés s'il existe $ {\lambda}$ inversible tel que $ P={\lambda}.Q$.
On identifie $ A$ $ \mathbb{K}$ et l'ensemble des suites $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ avec $ u_n=0$ pour tout $ n>0$, par l'isomorphisme canonique $ x \mapsto (u_n)_{n\in\mathbb{N}}$    avec $ u_0=x$    et $ n>0 \to u_n=0$.
On note $ X$ l'élément $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ avec $ u_0=0$, $ u_1=1$, et $ u_n=0$ pour $ n>1$.
La famille des $ X^i$ pour $ i \in \mathbb{N}$ constitue la base canonique du module libre $ A^(\mathbb{N})$ (resp. du $ \mathbb{K}$-espace vectoriel $ K^{(N)}$.
Etant donné $ P$ un polynôme, on appelle degré de $ P$ et on note $ \deg P$ le plus grand $ n$ tel que $ P_n$ est non nul. On appelle coefficient dominant de $ P$ le coefficient de $ X^{\deg P}$ (que l'on peut voir comme $ {X^{deg(P)}}^*(P)$ si l'on travaille avec un corps, voir la partie [*]); on le note $ coef(P)$.
Un polynôme non nul est dit unitaire si son coefficient dominant est $ 1$.
On appelle support d'un polynôme $ P$ l'ensemble des $ n \in \mathbb{N}$ tels que $ {X^n}^*(P)\neq 0$. Par définition d'un polynôme, son support est fini.
Le degré d'un polynôme $ P$ est donc aussi le $ sup$ de son support.
On appelle valuation de $ P$ et on note $ val(P)$ l'$ inf$ du support de $ P$.
On appelle composé de deux polynômes $ P$ et $ Q$ et on note $ P \circ Q$ le polynôme $ \sum P_n Q^n$ (que l'on peut aussi voir comme $ \sum_{n\in \mathbb{N}} {X^i}^*(P).Q^i$ si l'on travaille avec un corps).

Proposition $ \bullet $$ 1$ est élément neutre pour la multiplication, $ X$ élément neutre pour $ \circ$, 0 élément neutre pour l'addition.
$ \bullet $Les éléments inversibles de $ \mathbb{K}[X]$ sont les éléments identifiés aux éléments de $ \mathbb{K}\setminus \{0\}$.
$ \bullet $ $ deg(0)=-\infty$ et $ val(0)=+\infty$
$ \bullet $$ deg(1)=0$
$ \bullet $ $ deg(X^i)=i$ et $ val(X^i)=i$
$ \bullet $ $ deg(P.Q)=deg(P)+deg(Q)$ et $ val(P.Q)=val(P)+val(Q)$
$ \bullet $ $ deg(P+Q) \leq sup(deg(P),deg(Q))$ avec égalité si $ deg(P)\neq deg(Q)$ ou si les coefficients dominants de $ P$ et $ Q$ ne sont pas opposés.
$ \bullet $ $ val(P+Q) \leq sup(val(P),val(Q))$ avec égalité si $ val(P)\neq val(Q)$ ou si $ P_{val(P)}$ et $ Q_{val(Q)}$ ne sont pas opposés.
$ \bullet $si $ A$ est intègre alors $ A[X]$ est un anneau intègre; c'est à dire que le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l'un des deux polynômes est nul.
$ \bullet $ $ (P+Q)\circ R = P\circ R + Q \circ R$ mais en général $ P\circ (Q+R) \neq P \circ Q + P \circ R$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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