Généralités

Définition Soit un anneau commutatif unitaire (resp. un corps).

L'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang d'éléments de , noté , est un -module (resp. un -espace vectoriel ) pour l'addition et la multiplication par un scalaire usuelles. En le munissant en outre du produit suivant:

    avec

On obtient une -algèbre (resp. -algèbre), notée (resp. ).
Les éléments de sont appelés polynômes.
Deux polynômes et non nuls sont dits associés s'il existe inversible tel que .
On identifie et l'ensemble des suites avec pour tout , par l'isomorphisme canonique     avec     et .
On note l'élément avec , , et pour .
La famille des pour constitue la base canonique du module libre (resp. du -espace vectoriel .
Etant donné un polynôme, on appelle degré de et on note le plus grand tel que est non nul. On appelle coefficient dominant de le coefficient de (que l'on peut voir comme si l'on travaille avec un corps, voir la partie ); on le note .
Un polynôme non nul est dit unitaire si son coefficient dominant est .
On appelle support d'un polynôme l'ensemble des tels que . Par définition d'un polynôme, son support est fini.
Le degré d'un polynôme est donc aussi le de son support.
On appelle valuation de et on note l' du support de .
On appelle composé de deux polynômes et et on note le polynôme (que l'on peut aussi voir comme si l'on travaille avec un corps).

Proposition est élément neutre pour la multiplication, élément neutre pour , 0 élément neutre pour l'addition.
Les éléments inversibles de sont les éléments identifiés aux éléments de .
et

et
et
avec égalité si ou si les coefficients dominants de et ne sont pas opposés.
avec égalité si ou si et ne sont pas opposés.
si est intègre alors est un anneau intègre; c'est à dire que le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l'un des deux polynômes est nul.
mais en général