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Division euclidienne

Théorème [Division euclidienne] Soient $ A$ et $ B$ deux polynômes, avec $ coef(B)$ inversible. Alors

$\displaystyle \exists (Q,R)$    polynômes $\displaystyle / A=B.Q+R$

avec

$\displaystyle deg R < deg B$


Démonstration: $ \bullet $Unicité:
Supposons $ B.Q+R=B.Q'+R'$ avec les conditions données sur le degré. Alors

$\displaystyle B.(Q-Q')=R'-R$

$\displaystyle deg(B)+deg(Q-Q')=deg(R'-R)$

donc

$\displaystyle deg(Q-Q')=-\infty$

et $ Q=Q'$ et $ R=R'$.
$ \bullet $Existence:
On distingue deux cas.
- Si le degré de $ A$ est inférieur strictement au degré de $ B$, le résultat est clair avec $ Q=0$ et $ R=A$.
- Sinon on procède par récurrence sur le degré de $ A$, en considérant

$\displaystyle A-\frac{coef(A)}{coef(B)}.X^{deg(A)-deg(B)}$

...$ \sqcap$$ \sqcup$

Il est à remarquer que c'est par la méthode de la récurrence que l'on pratique la division euclidienne.

Définition $ Q$ est appelé quotient de $ A$ par $ B$, et $ R$ est appelé reste de $ A$ par $ B$.

Un exemple en Maple:



Exemple Maple


$ > rem(x^4+x^3+x^2+x+1,x^3,x);$

$\displaystyle 1 + x^{2} + x$

$ > quo(x^4+x^3+x^2+x+1,x^3,x);$

$\displaystyle x + 1$





Corollaire Soit $ \mathbb{K}$ un corps. $ \mathbb{K}[X]$ est un anneau euclidien, donc un anneau principal.

Démonstration: La division euclidienne en est la preuve; dans un corps, tout polynôme non nul a son coefficient dominant inversible.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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