Théorème [Division euclidienne]
Soient et deux polynômes, avec inversible. Alors
polynômes
avec
Démonstration:Unicité:
Supposons
avec les conditions données sur le degré. Alors
donc
et et .
Existence:
On distingue deux cas.
- Si le degré de est inférieur strictement au degré de , le résultat
est clair avec et .
- Sinon on procède par récurrence sur le degré de , en considérant
...
Il est à remarquer que c'est par la méthode de la récurrence que l'on pratique la
division euclidienne.
Définition est appelé quotient de par , et est appelé reste de
par .
Un exemple en Maple:
Exemple Maple
Corollaire
Soit
un corps.
est un anneau euclidien, donc un anneau principal.
Démonstration:La division euclidienne en est la preuve; dans un corps, tout polynôme non nul a son coefficient dominant inversible.
et 
deux polynômes, avec 
inversible. Alors
polynômes 
Unicité:
avec les conditions données sur le degré. Alors
et 
.
et 
.
est appelé quotient
est appelé reste
un corps.
![$ \mathbb{K}[X]$](/b/c/e/img9.png){kind=small}
est un anneau euclidien, donc un anneau principal.
