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Fonction associée, racines d'un polynôme

Définition Etant donnée $ B$ une $ A$-algèbre associative commutative et unitaire, on peut identifier $ P$ à une application de $ A$ dans $ A$, dite application polynômiale associée à $ A$, noté $ \tilde P$, et définie par

$\displaystyle \tilde P(x)=\sum_{n\in\mathbb{N}} P_n x^n $

Cela est notamment valable pour $ B=A$; implicitement $ \tilde P$ désignera généralement une fonction de $ A$ dans $ A$.

Proposition Soit $ a$ dans $ A$ et $ P$ un polynôme appartenant à $ A[X]$.

Le reste de la division euclidienne de $ P$ par $ (X-a)$ est $ P(a)$.

En considérant la division euclidienne de $ P$ par $ (x-a)^n$, on peut énoncer la définition suivante:

Proposition - Définition

Soit $ P$ un polynôme, $ a$ un élément de $ A$ et $ n$ un entier naturel.

Les conditions suivantes sont équivalentes:

- $ (X-a)^n \vert P$ et $ (X-a)^{n+1} \not \vert P$

- Il existe un polynôme $ Q$ tel que $ P=(X-a)^nQ$ et $ \tilde Q(a)$ non nul.

On dit alors que $ a$ est racine de $ P$ d'ordre de multiplicité $ n$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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