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Cas où $ A=\mathbb{K}$ est un corps

Théorème Si $ \mathbb{K}$ est un corps commutatif alors $ \mathbb{K}[X]$ est un anneau euclidien, donc un anneau principal, donc un anneau factoriel.

Démonstration: Le fait que $ \mathbb{K}[X]$ est un anneau euclidien a été prouvé en proposition [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition - Définition On dit qu'un corps $ \mathbb{K}$ est algébriquement clos si et seulement si l'une des trois propositions suivantes est vérifiée:

- tout polynôme de $ \mathbb{K}[X]$ est scindé, c'est-à-dire produit de polynômes de degré $ 1$

- tout polynôme non constant a une racine dans $ \mathbb{K}$

- tout polynôme irréductible est de degré $ 1$


Pour y voir plus clair Dans $ \mathbb{K}[X]$ avec $ \mathbb{K}$ corps algébriquement clos, tout polynôme de degré $ n$ s'écrit de manière unique à l'ordre près des facteurs sous la forme:

$\displaystyle c (X-k_1)(X-k_2)\dots (X-k_n)$

avec $ c$ inversible, et les $ k_i$ les racines (pas forcément distinctes!) du polynôme.

Remarque $ \mathbb{C}$ est algébriquement clos, comme énoncé dans la proposition [*].

Un exemple en Maple:



Exemple Maple


$ > P:=X->x$^ $ 4-1;$

$\displaystyle P:=X^4-1$

$ > factor(P);$

$\displaystyle (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

$ > factor(P,complex);$

$\displaystyle (x + 1.)(x + 1. I)(x - 1.I)(x - 1.000000000)$






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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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