Relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme - localisation des racines d'un polynôme
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Sous-sections
On se donne pour l'ensemble de cette partie un polynôme
, de degré , non nul. On définit
.
On utilisera ici les polynômes symétriques élémentaires
définis en partie .
Théorème [Relations entre racines et coefficients d'un polynôme]
Notons
, avec ,..., des complexes.
On a
pour un certain si et seulement si
.
Démonstration: On écrit simplement l'égalité
On en déduit que
, et les relations souhaitées en développant d'un côté et de l'autre du signe .
Le théorème de Rolle permet de montrer que le polynôme dérivé d'un polynôme scindé est
scindé.
On peut par exemple utiliser la méthode de Newton, trouvable dans tout bon ouvrage d'analyse numérique. On pourra par exemple consulter [9 ]. FLEMMARD verifier
La théorie du résultant donne quelques résultats intéressants sur la localisation de racines; voir théorème
.
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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud