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Relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme - localisation des racines d'un polynôme

On se donne pour l'ensemble de cette partie un polynôme $ P\in \mathbb{C}[X]$, de degré $ n$, $ P$ non nul. On définit $ P=\sum_{i=0}^n p_i X^i$.

$ \boxcircle$ Relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme

On utilisera ici les polynômes symétriques élémentaires $ \Sigma_i=\Sigma_{i,n}$ définis en partie [*].

Théorème [Relations entre racines et coefficients d'un polynôme] Notons $ \sigma _i=\Sigma_i(r_1,...,r_n)$, avec $ r_1$,...,$ r_n$ des complexes.

On a $ P={\lambda}\Pi_{i=1}^n (X-r_i)$ pour un certain $ {\lambda}$ si et seulement si $ \sigma _i=(-1)^i\frac{p_{n-i}}{p_n}$.

Démonstration: On écrit simplement l'égalité

$\displaystyle \sum_{i=0}^n p_i X^i={\lambda}\Pi_{i=1}^n (x-r_i)$

On en déduit que $ {\lambda}=p_n$, et les relations souhaitées en développant d'un côté et de l'autre du signe $ =$.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ Localisation des racines d'un polynôme

$ \diamond$ Premières informations

Le théorème de Rolle [*] permet de montrer que le polynôme dérivé d'un polynôme scindé est scindé.

$ \diamond$ Méthode itérative

On peut par exemple utiliser la méthode de Newton, trouvable dans tout bon ouvrage d'analyse numérique. On pourra par exemple consulter [9]. FLEMMARD verifier

$ \diamond$ Méthode algébrique

La théorie du résultant donne quelques résultats intéressants sur la localisation de racines; voir théorème [*].


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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