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Relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme - localisation des racines d'un polynôme

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Relations entre les racines et les coefficients d'un polynôme - localisation des racines d'un polynôme

On se donne pour l'ensemble de cette partie un polynôme $P\in \mathbb{C}[X]$ , de degré , non nul. On définit $P=\sum_{i=0}^n p_i X^i$ .

On utilisera ici les polynômes symétriques élémentaires $\Sigma_i=\Sigma_{i,n}$ définis en partie .

Théorème [Relations entre racines et coefficients d'un polynôme] Notons $\sigma _i=\Sigma_i(r_1,...,r_n)$ , avec ,..., des complexes.

On a $P={\lambda}\Pi_{i=1}^n (X-r_i)$ pour un certain ${\lambda}$ si et seulement si $\sigma _i=(-1)^i\frac{p_{n-i}}{p_n}$ .

Démonstration: On écrit simplement l'égalité

$\displaystyle \sum_{i=0}^n p_i X^i={\lambda}\Pi_{i=1}^n (x-r_i)$

On en déduit que ${\lambda}=p_n$ , et les relations souhaitées en développant d'un côté et de l'autre du signe

. $\sqcap$ $\sqcup$

C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud

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