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Polynômes irréductibles

Définition Un polynôme $ P$ appartenant à $ \mathbb{K}[X]$ est dit polynôme irréductible si il est irréductible en tant qu'élément de l'anneau $ \mathbb{K}[X]$, c'est-à-dire s'il n'est pas inversible et si tout diviseur de $ P$ est une unité ou est produit de $ P$ par une unité.

Pour plus d'informations sur la recherche de facteurs irréductibles communs à deux polynômes, on consultera le théorème [*].

Théorème

$ \bullet $Les polynômes irréductibles de $ \mathbb{C}[X]$ sont les polynômes de degré $ 1$.

$ \bullet $Les polynômes irréductibles de $ \mathbb{R}[X]$ sont les polynômes de degré $ 1$ et les polynômes $ a X^2 + b X +c$, avec $ a\neq 0$ et $ b^2-4ac<0$.

Démonstration: Il est évident que les polynômes considérés sont bel et bien irréductibles, dans les deux cas réel et complexe. Réciproquement, le théorème de D'Alembert-Gauss [*] donne le résultat dans le cas complexe. Dans le cas réel, on procède comme suit:

$ \bullet $Supposons $ P \in \mathbb{R}[X]$ irréductible dans $ \mathbb{R}[X]$.

$ \bullet $Par simplicité et sans perte de généralité, on va supposer $ P$ unitaire.

$ \bullet $Si $ x$ est racine de $ P$ dans $ \mathbb{C}$, alors $ \overline x$ l'est aussi, avec le même ordre de multiplicité.

$ \bullet $$ P$ n'a pas de racine réelle $ r$, sinon $ X-r$ diviserait $ P$ et $ P$ ne serait pas irréductible.

$ \bullet $$ P$ peut donc s'écrire $ P=\Pi_{i=1}^r (X-r_i)^{n_i} (X-\overline r_i)^{n_i}$.

$ \bullet $ $ (X-r_i)(X-\overline r_i)$ est alors un polynôme réel (on le voit simplement en le développant), donc $ P$ est un produit de polynômes de discriminants négatifs strictement (là aussi il suffit de développer pour le voir). Il n'est irréductible que s'il contient un et un seul tel terme.

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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