Résultant. Discriminant

Définition

Etant donnés et deux polynômes de , on appelle résultant de et le déterminant de la matrice suivante:

On appelle discriminant d'un polynôme le résultant de et de son polynôme dérivé.

Théorème

Le résultant de et est nul si et seulement si et ont au moins un facteur irréductible en commun.

Le discriminant d'un polynôme est nul si et seulement si il a au moins un facteur irréductible en commun avec son polynôme dérivé.

Démonstration:

La deuxième affirmation n'est naturellement qu'une spécialisation de la première. On se contentera donc de prouver la première.

Supposons tout d'abord que et aient un facteur irréductible commun .

- Alors et , avec et , et non nuls.

- , ou . Ceci exprime très exactement l'existence d'un vecteur tel que la matrice donnée dans l'énoncé vérifie , avec non nul; donc la matrice n'est pas la matrice d'une bijection, donc son déterminant est nul.

Supposons maintenant qu'il existe tel que soit nul et soit . Alors, il existe et vérifiant , avec et .

- Supposons alors que et n'aient pas de facteur irréductible en commun. Alors, par le lemme de Gauss , divise , ce qui est impossible car .

En particulier, si les polynômes sont scindés, ils ont une racine commune si et seulement si leur résultant est nul. Si est scindé, son discriminant est nul si et seulement si il admet une racine double.