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Résultant. Discriminant

Définition

Etant donnés $ P$ et $ Q$ deux polynômes de $ \mathbb{K}[X]$, on appelle résultant de $ P$ et $ Q$ le déterminant de la matrice suivante:

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{cccccccccccccc}
P_0 & 0 & 0 & 0 & \dots...
... & \dots & \dots & \dots & \dots & 0 & Q_q
\end{array}\right)
\end{displaymath}

avec $ P=\sum_{k=0}^p P_p X^k$ et $ Q=\sum_{k=0}^q Q_q X^k$.

On appelle discriminant d'un polynôme $ P$ le résultant de $ P$ et de $ P'$ son polynôme dérivé.

Théorème

Le résultant de $ P$ et $ Q$ est nul si et seulement si $ P$ et $ Q$ ont au moins un facteur irréductible en commun.

Le discriminant d'un polynôme $ P$ est nul si et seulement si il a au moins un facteur irréductible en commun avec son polynôme dérivé.

Démonstration:

La deuxième affirmation n'est naturellement qu'une spécialisation de la première. On se contentera donc de prouver la première.

$ \bullet $Supposons tout d'abord que $ P$ et $ Q$ aient un facteur irréductible commun $ R$.

- Alors $ P=RS$ et $ Q=RT$, avec $ deg T = deg Q-deg R$ et $ deg S = deg P-deg R$, $ T$ et $ S$ non nuls.

- $ PT=QS$, ou $ PT-QS=0$. Ceci exprime très exactement l'existence d'un vecteur $ X$ tel que la matrice $ M$ donnée dans l'énoncé vérifie $ MX=0$, avec $ X$ non nul; donc la matrice n'est pas la matrice d'une bijection, donc son déterminant est nul.

$ \bullet $Supposons maintenant qu'il existe $ X$ tel que $ MX$ soit nul et $ X$ soit $ \neq 0$. Alors, il existe $ P$ et $ Q$ vérifiant $ PT=QS$, avec $ deg T = deg Q-deg R$ et $ deg S = deg P-deg R$.

- Supposons alors que $ P$ et $ Q$ n'aient pas de facteur irréductible en commun. Alors, par le lemme de Gauss [*], $ P$ divise $ S$, ce qui est impossible car $ deg S <deg P$.$ \sqcap$$ \sqcup$

En particulier, si les polynômes sont scindés, ils ont une racine commune si et seulement si leur résultant est nul. Si $ P$ est scindé, son discriminant est nul si et seulement si il admet une racine double.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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