On appelle polynôme à indéterminées à coefficients dans
l'ensemble des applications presques nulles de
dans . On note
l'ensemble des polynômes à indéterminées à coefficients dans .
On dit que
est de degré si est le max des tels que
est non nul (voir définition pour les rappels sur les opérations dans
).
On dit que est de degré en si le des tels qu'il existe tel que est non nul est .
On note l'élément de
nul partout sauf en
, avec .
Etant donnés et deux polynômes, on note
le produit de et
avec
(pour les opérations dans , voir définition ).
On appelle monôme un polynôme dont un seul élément est non nul.
On appelle dérivé formel d'un polynôme par pour
le polynôme
On note parfois
avec
.
Proposition
On identifie
à
, ainsi que
à
.
est intègre si et seulement si est intègre.
est muni naturellement d'une structure de -module. Muni de la multiplication définie plus haut, il s'agit d'une -algèbre.
L'ensemble des monômes unitaires est une base de
.
Etant donnée une -algèbre associative commutative unitaire,
et
éléments de , on appelle valeur de en
l'élément de . On note cet élément
. On constate ainsi qu'un polynôme s'identifie naturellement à une application de dans . On note
l'ensemble des
pour
.
Si
vérifie
, on dit que
est un zéro de .
Etant donné
éléments de , l'ensemble des polynômes vérifiant
est un idéal de
, engendré par les pour
.