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Théorème de Cantor-Bernstein

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Généralités

Définition Soit un anneau commutatif unitaire.

On appelle polynôme à indéterminées à coefficients dans l'ensemble des applications presques nulles de $\mathbb{N}^n$ dans . On note $A[X_1,\dots,X_n]$ l'ensemble des polynômes à indéterminées à coefficients dans .

On dit que $P\in\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]$ est de degré si est le max des $\vert\nu\vert$ tels que $P_\nu$ est non nul (voir définition pour les rappels sur les opérations dans $\mathbb{N}^n$ ).

On dit que est de degré en si le $\sup$ des tels qu'il existe $\nu$ tel que $\nu_i$ est non nul est .

On note l'élément de $A[X_1,\dots,X_n]$ nul partout sauf en $\nu=(\partial _{i,j})_{j\in [1,n]}$ , avec $X_\nu=1$ .

Etant donnés et deux polynômes, on note $R=P\times Q$ le produit de et avec

$\displaystyle R_\nu=\sum_{\alpha +\beta =\nu} P_\alpha Q_\beta$

(pour les opérations dans

, voir définition

On appelle monôme un polynôme dont un seul élément est non nul.

On appelle dérivé formel d'un polynôme par $D^\nu$ pour $\nu \in \mathbb{N}^n$ le polynôme

$\displaystyle \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} \frac{(\nu+\alpha )!}{\alpha !}P_{\alpha +\nu}$

On note parfois $\frac{\partial }{\partial X_i}$ $D^\nu$ avec $\nu_j=(\partial _{i,j})_{j\in [1,n]}$ .

Proposition On identifie $A[X_1,\dots,X_n]$ à $A[X_1,\dots,X_{n-1}][X_n]$ , ainsi que $A[X_1,\dots,X_p][X_{p+1},\dots,X_n]$ à $A[X_1,\dots,X_n]$ .

$A[X_1,\dots,X_n]$ est intègre si et seulement si est intègre.

$A[X_1,\dots,X_n]$ est muni naturellement d'une structure de -module. Muni de la multiplication définie plus haut, il s'agit d'une -algèbre.

L'ensemble des monômes unitaires est une base de $A[X_1,\dots,X_n]$ .

Etant donnée une -algèbre associative commutative unitaire, $P\in A[X_1,\dots,X_n]$ et éléments de , on appelle valeur de en $(x_1,\dots,x_n)$ l'élément de $\sum_{\nu \in \mathbb{N}^n} P_\nu x_1^{\nu_1} x_2^{\nu_2} \dots x_n^{\nu_n}$ . On note cet élément $\tilde P(x_1,\dots,x_n)$ . On constate ainsi qu'un polynôme s'identifie naturellement à une application $\tilde P$ de dans . On note $A[x_1,\dots,x_n]$ l'ensemble des $P(x_1,\dots,x_n)$ pour $P\in A[x_1,\dots,x_n]$ .

Si $(x_1,\dots,x_n)$ vérifie $\tilde P(x_1,\dots,x_n)=0$ , on dit que $(x_1,\dots,x_n)$ est un zéro de .

Etant donné $(x_1,\dots,x_n)$ éléments de , l'ensemble des polynômes vérifiant $P(x_1,\dots,x_n)=0$ est un idéal de $A[X_1,\dots,X_n]$ , engendré par les pour $i\in [1,n]$ .