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Généralités

Définition Soit $ A$ un anneau commutatif unitaire.

On appelle polynôme à $ n$ indéterminées à coefficients dans $ A$ l'ensemble des applications presques nulles de $ \mathbb{N}^n$ dans $ A$. On note $ A[X_1,\dots,X_n]$ l'ensemble des polynômes à $ n$ indéterminées à coefficients dans $ A$.

On dit que $ P\in\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]$ est de degré $ d$ si $ d$ est le max des $ \vert\nu\vert$ tels que $ P_\nu$ est non nul (voir définition [*] pour les rappels sur les opérations dans $ \mathbb{N}^n$).

On dit que $ P$ est de degré $ d$ en $ X_i$ si le $ \sup$ des $ i$ tels qu'il existe $ \nu$ tel que $ \nu_i$ est non nul est $ d$.

On note $ X_i$ l'élément de $ A[X_1,\dots,X_n]$ nul partout sauf en $ \nu=(\partial _{i,j})_{j\in [1,n]}$, avec $ X_\nu=1$.

Etant donnés $ P$ et $ Q$ deux polynômes, on note $ R=P\times Q$ le produit de $ P$ et $ Q$ avec

$\displaystyle R_\nu=\sum_{\alpha +\beta =\nu} P_\alpha Q_\beta $

(pour les opérations dans $ N^n$, voir définition [*]).

On appelle monôme un polynôme dont un seul élément est non nul.

On appelle dérivé formel d'un polynôme $ P$ par $ D^\nu$ pour $ \nu \in \mathbb{N}^n$ le polynôme

$\displaystyle \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} \frac{(\nu+\alpha )!}{\alpha !}P_{\alpha +\nu}$

On note parfois $ \frac{\partial }{\partial X_i}$ $ D^\nu$ avec $ \nu_j=(\partial _{i,j})_{j\in [1,n]}$.

Proposition On identifie $ A[X_1,\dots,X_n]$ à $ A[X_1,\dots,X_{n-1}][X_n]$, ainsi que $ A[X_1,\dots,X_p][X_{p+1},\dots,X_n]$ à $ A[X_1,\dots,X_n]$.

$ A[X_1,\dots,X_n]$ est intègre si et seulement si $ A$ est intègre.

$ A[X_1,\dots,X_n]$ est muni naturellement d'une structure de $ A$-module. Muni de la multiplication définie plus haut, il s'agit d'une $ A$-algèbre.

L'ensemble des monômes unitaires est une base de $ A[X_1,\dots,X_n]$.

Etant donnée $ B$ une $ A$-algèbre associative commutative unitaire, $ P\in A[X_1,\dots,X_n]$ et $ x_1,...,x_n$ $ n$ éléments de $ B$, on appelle valeur de $ P$ en $ (x_1,\dots,x_n)$ l'élément de $ B$ $ \sum_{\nu \in \mathbb{N}^n} P_\nu x_1^{\nu_1} x_2^{\nu_2} \dots x_n^{\nu_n}$. On note cet élément $ \tilde P(x_1,\dots,x_n)$. On constate ainsi qu'un polynôme $ P$ s'identifie naturellement à une application $ \tilde P$ de $ B^n$ dans $ B$. On note $ A[x_1,\dots,x_n]$ l'ensemble des $ P(x_1,\dots,x_n)$ pour $ P\in A[x_1,\dots,x_n]$.

Si $ (x_1,\dots,x_n)$ vérifie $ \tilde P(x_1,\dots,x_n)=0$, on dit que $ (x_1,\dots,x_n)$ est un zéro de $ P$.

Etant donné $ (x_1,\dots,x_n)$ $ n$ éléments de $ B$, l'ensemble des polynômes $ P$ vérifiant $ P(x_1,\dots,x_n)=0$ est un idéal de $ A[X_1,\dots,X_n]$, engendré par les $ (X_i-a_i)$ pour $ i\in [1,n]$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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