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Polynômes symétriques

Attention! $ A$ est supposé ici anneau commutatif et unitaire.

Définition

Soit $ P\in A[X_1,\dots,X_n]$. $ P$ est dit polynôme symétrique si et seulement si pour tout $ \sigma $ permutation de $ [1,...,n]$, $ P(X_1,...,X_n)=P(X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)},...,X_{\sigma (n)})$.

On appelle polynômes symétriques élémentaires les polynômes de la forme

$\displaystyle \Sigma_{k,n}=\sum_{1\leq a_1 \leq a_2 \leq ... \leq a_k\leq n} X_{a_1}X_{a_2}...X_{a_k}$

pour $ 1 \leq k\leq n$.

On appelle $ k$-ième polynôme de Newton le polynôme $ N_k=\sum_{i=1}^n X_i^k$.

Les polynômes symétriques élémentaires sont de la forme suivante, dans le cas $ n=3$:

$\displaystyle \Sigma_{1,3}=X_1+X_2+X_3$

$\displaystyle \Sigma_{2,3}=X_1X_2+X_2X_3+X_1X_3$

$\displaystyle \Sigma_{3,3}=X_1X_2X_3$

Je ne donnerai pas ici de preuve des résultats énoncés; on pourra se référer à [19]. On a les propriétés suivantes:

$ \bullet\ $Les polynômes symétriques élémentaires sont symétriques (évident)

$ \bullet\ $Les polynômes de Newton sont symétriques (évident)

$ \bullet\ $Si $ Q$ est un polynôme, alors $ P=Q(\Sigma_{1,n},\Sigma_{2,n},...,\Sigma_{n,n})$ est un polynôme symétrique (facile)

$ \bullet\ $Si $ P \in A[X_1,...,X_n]$ est symétrique, alors il existe un polynôme $ Q$ tel que $ P=Q(\Sigma_{1,n},\Sigma_{2,n},...,\Sigma_{n,n})$ (pas évident du tout, récurrence sur le nombre d'indéterminées et sur le degré du polynôme.

$ \bullet\ $Relations de Newton: Si $ 1 \leq k\leq n$ on a

$\displaystyle N_k=\sum_{i=1}^{k-1} (-1)^i N_{k-i}\Sigma_{i,n}+(-1)^k k \Sigma(k,n)$

Si $ n\leq k$ on a

$\displaystyle N_k=\sum_{i=1}^{n} (-1)^i N_{k-i}\Sigma_{i,n}$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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