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Généralités

Définition Un élément $ x$ de l'espace vectoriel $ E$ est dit combinaison linéaire d'une famille $ (x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $ E$ si il existe un entier $ n$, un $ n$-uplet $ ({\lambda}_1,...,{\lambda}_n)$ d'éléments de $ \mathbb{K}$, et un $ n$-uplet $ (i_1,...,i_n)$ d'éléments de $ I$ tels que $ x=\sum_{1 \leq j \leq n} {\lambda}_j x_{i_j}$.
Un élément $ x$ est dit combinaison linéaire d'un sous-ensemble $ A$ de $ E$ si $ x$ est combinaison linéaire d'une famille d'éléments de $ A$.
Une famille d'éléments d'un sous-espace vectoriel $ F$ est dite famille génératrice de $ F$ si l'espace vectoriel engendré par cette famille est $ F$.
Une famille d'éléments de $ E$ est dite famille libre si une combinaison linéaire de cette famille est nulle si et seulement si chaque $ {\lambda}_i$ est nul.
Une famille est dite famille liée quand elle n'est pas libre.

Propriétés:
$ \bullet\ $L'image d'une famille génératrice de $ F$ par une application linéaire $ f$ est une famille génératrice de $ f(F)$.
$ \bullet\ $L'ensemble des combinaisons linéaires de $ A$ est l'espace vectoriel engendré par $ A$.
$ \bullet\ $Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
$ \bullet\ $Les éléments d'une famille libre sont deux à deux distincts.
$ \bullet\ $Une famille est liée si et seulement si un de ses éléments est combinaison linéaire des autres.
$ \bullet\ $Une famille est liée si et seulement si un de ses éléments appartient à l'espace vectoriel engendré par les autres.
$ \bullet\ $Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
$ \bullet\ $Toute sur-famille d'une famille liée est liée.

Théorème $ \bullet\ $L'image d'une famille liée par une application linéaire est une famille liée.
$ \bullet\ $L'image d'une famille libre par une application injective est une famille libre.

Le théorème suivant, facile à démontrer, est fondamental pour la suite.

Théorème $ \bullet\ $Etant donnée une famille libre et un élément appartenant à l'espace vectoriel engendré par cette famille, alors cet élément s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire d'éléments de la famille.

Définition [Base] Une base d'un espace vectoriel $ E$ est une famille libre et génératrice.

Proposition Une famille est une base si et seulement si c'est une famille libre maximale (au sens de l'inclusion).

Démonstration: Si elle est pas maximale, on peut ajouter un élément tout en la laissant libre; on en déduit que ce n'est pas une famille génératrice. Si elle n'est pas génératrice, alors on peut ajouter un élément n'appartenant pas à l'espace engendré; cette nouvelle famille est aussi libre, donc la précédente n'était pas maximale.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Une famille est une base si et seulement si c'est une famille génératrice minimale.

Démonstration: Même principe que la preuve ci-dessus.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition Etant donnée une base $ (e_i)$ d'un espace vectoriel $ F$ et un élément $ x$ de $ F$, il existe une unique famille $ ({\lambda}_i)$ de support fini telle que $ x=\sum {\lambda}_i e_i$. Les $ {\lambda}_i$ sont appelés coordonnées du vecteur $ x$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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