Généralités

Définition Un élément de l'espace vectoriel est dit combinaison linéaire d'une famille d'éléments de si il existe un entier , un -uplet d'éléments de , et un -uplet d'éléments de tels que .
Un élément est dit combinaison linéaire d'un sous-ensemble de si est combinaison linéaire d'une famille d'éléments de .
Une famille d'éléments d'un sous-espace vectoriel est dite famille génératrice de si l'espace vectoriel engendré par cette famille est .
Une famille d'éléments de est dite famille libre si une combinaison linéaire de cette famille est nulle si et seulement si chaque est nul.
Une famille est dite famille liée quand elle n'est pas libre.

Propriétés:
L'image d'une famille génératrice de par une application linéaire est une famille génératrice de .
L'ensemble des combinaisons linéaires de est l'espace vectoriel engendré par .
Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
Les éléments d'une famille libre sont deux à deux distincts.
Une famille est liée si et seulement si un de ses éléments est combinaison linéaire des autres.
Une famille est liée si et seulement si un de ses éléments appartient à l'espace vectoriel engendré par les autres.
Toute sous-famille d'une famille libre est libre.
Toute sur-famille d'une famille liée est liée.

Théorème L'image d'une famille liée par une application linéaire est une famille liée.
L'image d'une famille libre par une application injective est une famille libre.

Le théorème suivant, facile à démontrer, est fondamental pour la suite.

Théorème Etant donnée une famille libre et un élément appartenant à l'espace vectoriel engendré par cette famille, alors cet élément s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire d'éléments de la famille.

Définition [Base] Une base d'un espace vectoriel est une famille libre et génératrice.

Proposition Une famille est une base si et seulement si c'est une famille libre maximale (au sens de l'inclusion).

Démonstration: Si elle est pas maximale, on peut ajouter un élément tout en la laissant libre; on en déduit que ce n'est pas une famille génératrice. Si elle n'est pas génératrice, alors on peut ajouter un élément n'appartenant pas à l'espace engendré; cette nouvelle famille est aussi libre, donc la précédente n'était pas maximale.

Proposition Une famille est une base si et seulement si c'est une famille génératrice minimale.

Démonstration: Même principe que la preuve ci-dessus.

Définition Etant donnée une base d'un espace vectoriel et un élément de , il existe une unique famille de support fini telle que . Les sont appelés coordonnées du vecteur .