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Définitions et premières propriétés. Le dual et le bidual

Définition On appelle forme linéaire sur un $ K$-espace vectoriel $ E$ une application linéaire de $ E$ dans $ K$.
On appelle dual d'un $ K$-espace vectoriel $ E$ l'ensemble $ E^{*}$ des formes linéaires sur cet espace vectoriel.
On appelle hyperplan tout sous-espace vectoriel admettant une droite pour supplémentaire.
On appelle bidual d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel le dual de son dual. On le note $ E^{**}$.
On appelle application linéaire canonique de $ E$ dans $ E^{**}$ l'application qui à $ x$ associe $ \phi_x:u \mapsto u(x)$ (on vérifiera facilement que c'est une application linéaire).

Propriétés:
$ \bullet\ $Une forme linéaire non nulle est surjective.
$ \bullet\ $Un sous-espace vectoriel est un hyperplan si et seulement si tout droite vectorielle passant par un vecteur appartenant à son complémentaire est un supplémentaire de cette droite.
$ \bullet\ $Un sous-espace vectoriel est un hyperplan si et seulement si c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
$ \bullet\ $Deux formes linéaires non nulles sont liées (dans le dual) si et seulement si elles ont même noyau.
$ \bullet\ $Etant données $ u$ et $ v$ des formes linéaires sur $ E$, il existe $ {\lambda}\in \mathbb{K}$ tel que $ u={\lambda}v$ si et seulement si $ Ker\ u \subset Ker \ v$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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