Définitions et premières propriétés. Le dual et le bidual

Définition On appelle forme linéaire sur un -espace vectoriel une application linéaire de dans .
On appelle dual d'un -espace vectoriel l'ensemble des formes linéaires sur cet espace vectoriel.
On appelle hyperplan tout sous-espace vectoriel admettant une droite pour supplémentaire.
On appelle bidual d'un -espace vectoriel le dual de son dual. On le note .
On appelle application linéaire canonique de dans l'application qui à associe (on vérifiera facilement que c'est une application linéaire).

Propriétés:
Une forme linéaire non nulle est surjective.
Un sous-espace vectoriel est un hyperplan si et seulement si tout droite vectorielle passant par un vecteur appartenant à son complémentaire est un supplémentaire de cette droite.
Un sous-espace vectoriel est un hyperplan si et seulement si c'est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
Deux formes linéaires non nulles sont liées (dans le dual) si et seulement si elles ont même noyau.
Etant données et des formes linéaires sur , il existe tel que si et seulement si .