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Orthogonalité

Définition Etant donné $ x$ dans $ E$ et $ u$ dans $ E^*$, on dit que $ x$ et $ u$ sont orthogonaux si et seulement si $ u(x)=0$
Etant donnée une partie non vide $ A$ de $ E$, on appelle orthogonal de $ A$ dans $ E^*$ et on note $ A^\bot$ l'ensemble des $ u$ orthogonaux à tous les éléments de $ A$.
Etant donnée une partie non vide $ A$ de $ E^*$ on appelle orthogonal de $ A$ dans $ E$ et on note $ A^o$ l'ensemble des $ x$ orthogonaux à tous les éléments de $ A$.

Propriétés:
J'utilise le terme orthogonal sans plus de précision lorsque la propriété vaut à la fois dans le cas de l'orthogonal d'une partie de $ E$ dans le dual et dans le cas de l'orthogonal d'une partie du dual $ E^*$ dans $ E$.
Il n'y a pas ici de bidualité; l'orthogonal d'une partie du dual $ E'$ est à considérer dans $ E$.
$ \bullet\ $L'orthogonal d'une partie est l'orthogonal de l'espace engendré par cette partie.
$ \bullet\ $L'orthogonal d'une partie est un sous-espace vectoriel.
$ \bullet\ $Toute partie est incluse dans l'orthogonal de son orthogonale.
$ \bullet\ $ $ A\subset B$ alors l'orthogonal de $ B$ est inclus dans l'orthogonal de $ A$.
$ \bullet\ $L'intersection des orthogonaux est l'orthogonal de l'union.

Attention! Attention, ne pas confondre l'orthogonal de l'orthogonal de $ A$ $ {A^\bot}^o$ et l'orthogonal de l'orthogonal de $ A$ $ {A^\bot}^\bot$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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