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Généralités

Définition [Espace vectoriel] $ (E,+,.)$ est un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel si
$ \bullet\ $$ (E,+)$ est un groupe abélien
$ \bullet\ $$ .$ est une application de $ K\times E$ dans $ E$
$ \bullet\ $ $ \forall ({\lambda}, \mu, x, y) \ ({\lambda}+ \mu) x = {\lambda}.x + \mu.x \lan...
...{\lambda}.x + {\lambda}.y \land ({\lambda}.\mu).x={\lambda}.(\mu.x) \land 1.x=x$
Les éléments de $ E$ sont appelés vecteurs, les éléments de $ \mathbb{K}$ sont appelés opérateurs ou scalaires. Le neutre pour $ +$ est noté 0. « $ .$ » est appelé produit externe.

Des exemples classiques sont: les vecteurs dans le plan ou l'espace usuel, le corps $ K$ lui-même avec pour produit externe le produit usuel, les polynômes sur $ K$, éventuellement à plusieurs indéterminées ou de degré borné; comme on le verra un peu plus loin avec les espaces produits, $ \mathbb{K}^n$ muni des lois que l'on verra est un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel; l'ensemble $ \mathbb{R}^\mathbb{N}$ des suites réelles (resp. complexes) aussi.

Les propriétés suivantes sont importantes:
$ \bullet\ $$ 0.x=0$
$ \bullet\ $ $ {\lambda}.0=0$
$ \bullet\ $ $ {\lambda}.x=0 \rightarrow {\lambda}=0 \lor x=0$
$ \bullet\ $ $ (-{\lambda}).x={\lambda}.(-x)=-({\lambda}.x)$
$ \bullet\ $ $ {\lambda}.(x-y)={\lambda}.x - {\lambda}.y$
$ \bullet\ $ $ ({\lambda}-\mu)x={\lambda}.x-\mu.x$

Définition [Différentes notions dans un espace vectoriel] On appelle segment d'extrémités $ x$ et $ y$ dans un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel l'ensemble des $ t.x+(1-t).y$ pour $ t \in [0,1]$. (la définition s'étend au cas d'un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel en utilisant $ t$ réel dans $ [0,1]$).
Une partie $ A$ d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel (avec $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $ \mathbb{K}=\mathbb{C}$) est dite convexe si tout segment d'extrémités dans $ A$ est inclus dans $ A$.
Etant donnée $ A$ une partie convexe d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel une application $ f$ de $ A$ dans $ \mathbb{R}$ est dite convexe si étant donnés $ x$ et $ y$ dans $ A$ et $ t$ dans $ [0,1]$ on a $ f(t.x+(1-t).y)\leq t.f(x).(1-t).f(y)$. $ -f$ est alors dite concave.

Propriétés:
$ \bullet\ $L'intersection de deux convexes est un convexe.
$ \bullet\ $Une boule ouverte est convexe.
$ \bullet\ $Une boule fermée est convexe.
$ \bullet\ $Un segment est convexe.
$ \bullet\ $Une application $ f$ est convexe si l'ensemble des $ (x,f(x))$ est convexe dans le produit $ A \times \mathbb{R}$.
$ \bullet\ $Une application convexe sur un intervalle $ ]a,b[$ est continue
$ \bullet\ $ $ x \mapsto e^x$, $ x \mapsto x^n$ sont convexes.
$ \bullet\ $ $ x \mapsto ln(x)$ est concave.

Application(s)... La notion de partie convexe est nécéssaire pour définir les fonctions convexes, dont on verra une foultitude d'applications en partie[*]. Cela servira aussi par exemple pour les résultats [*] (théorème de Cauchy), et surtout pour les théorème de Hahn-Banach ([*]) (aux multiples applications!). Une utilisation amusante de la convexité stricte sera donnée avec le résultat [*].

Proposition [Connexité dans un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel normé ] Une partie ouverte d'un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel normé est connexe si et seulement si elle est connexe par arcs si et seulement si entre tout $ x$ et tout $ y$ de cette partie il existe une ligne brisée.

Démonstration: Il est clair que l'existence d'une ligne brisée implique l'existence d'un chemin (donc la connexité par arcs) qui implique à son tour la connexité. Il suffit donc de montrer que la connexité implique l'existence d'une ligne brisée.
$ \bullet\ $On se donne $ U$ une telle partie, connexe, supposée non vide (sinon le problème est trivial)
$ \bullet\ $On se donne $ x_0$ dans $ U$
$ \bullet\ $On note $ V$ l'ensemble des $ x$ que l'on peut joindre à $ x_0$ par une ligne brisée.
$ \bullet\ $$ V$ est non vide (il contient $ x_0$)
$ \bullet\ $$ V$ est ouvert (si $ x$ est dans $ V$, alors $ B(x,\epsilon ) \subset U$ pour $ \epsilon $ assez petit, et donc $ B(x,\epsilon ) \subset V$ - car dans toute boule est convexe).
$ \bullet\ $$ V$ est fermé; en effet soit $ x$ dans $ U$ adhérent à $ V$, alors il existe une boule ouverte centrée sur $ x$ intersectant $ V$, donc $ x$ est dans $ V$ - car toute boule est convexe.
$ \bullet\ $$ V$, fermé, ouvert, non vide d'un connexe $ U$, est égal à $ U$.$ \sqcap$$ \sqcup$

La figure [*] illustre cette démonstration.

Figure: Illustration de la proposition [*]. $ x$ est supposé dans $ V$, $ y$ dans l'adhérence de $ V$.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =8cm
\epsfbox{conrevn.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Proposition [Distance dans un connexe ouvert d'un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel normé ] Soit $ U$ un ouvert connexe d'un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel normé . Si on note $ d(x,y)$ l'inf des longueurs des lignes brisées joignant $ x$ à $ y$, alors $ d$ est une distance et définit la même topologie que la norme.

Démonstration: pas difficile du tout!$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Espace vectoriel produit] Le produit de $ n$ espaces vectoriels, muni de l'addition terme à terme et avec pour multiplication $ {\lambda}.(x_1,...,x_n)=({\lambda}.x_1,...,{\lambda}.x_n)$ est un espace vectoriel. On l'appelle espace vectoriel produit.

Théorème L'ensemble des fonctions de $ A$ dans $ E$, noté $ E^A$, avec $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel, est un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel. La somme de deux fonctions est la fonction qui à un élément associe la somme des deux images, et le produit d'un scalaire par une fonction est la fonction qui à un vecteur associe le produit du scalaire par l'image de ce vecteur.

Démonstration: La preuve est pas bien difficile...$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Sous-espaces vectoriels] Une partie d'un espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de cet espace lorsqu'elle est non vide, stable par addition et stable par multiplication par un scalaire.

On note qu'on peut se contenter de vérifier que la partie est non vide et que si $ {\lambda}$ et$ \mu$ sont des scalaires et si $ x$ et $ y$ lui appartiennent, alors $ {\lambda}.x+\mu.y$ appartient aussi à l'ensemble.

Proposition Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel, et un espace vectoriel inclus dans un espace vectoriel (et muni des lois induites bien sûr) est un sous-espace vectoriel.

Les polynômes de degré plus petit que $ n$ sont un sous-espace de l'ensemble des polynômes. L'espace des fonctions bornées sont un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de $ A$ dans $ \mathbb{R}$. L'ensemble des suites bornées de $ \mathbb{K}$ est un sous-espace de l'espace des suites de $ \mathbb{K}$. L'ensemble des suites presque nulles de $ \mathbb{K}$ est aussi un sous-espace vectoriel de l'espace des suites de $ \mathbb{K}$.

Proposition Une intersection quelconque de sous-espaces vectoriels est un espace vectoriel.

Cela permet d'introduire la définition suivante:

Définition [Sous-espace vectoriel engendré] On appelle sous-espace vectoriel engendré par une partie $ A$ l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant $ A$. On la note $ Vect\ (A)$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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