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Résultats d'algèbre linéaire

$ \bullet\ $L'union de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel si et seulement si l'un des deux est inclus dans l'autre.

$ \bullet\ $Etant donnés deux projecteurs, la somme est un projecteur si et seulement si les composés de ces projecteurs (dans les deux sens, la composition n'étant pas commutative) sont nulles. Dans ce cas le noyau de la somme est l'intersection des noyaux, et l'image de la somme est la somme directe des images.

$ \bullet\ $Etant donnés $ F$ et $ G$ des espaces vectoriels et $ f$ et $ g$ des vecteurs alors $ f+F \subset g+G$ si et seulement si $ F \subset G \land f-g \in G$.

Définition On appelle homothétie vectorielle de rapport $ k$ l'application qui à $ x$ associe $ k.x$; un endomorphisme $ f$ est une homothétie vectorielle si et seulement si pour tout $ x$ la famille $ (x,f(x))$ est liée.

Démonstration: On procède par étapes:
$ \bullet\ $tout d'abord montrer que pour tout $ x$ il existe $ k_x \in K$ tel que $ f(x)=k_x.x$.
$ \bullet\ $ensuite montrer que $ k_x$ est constant sur toute droite vectorielle.
$ \bullet\ $développer $ f(x+y)$ avec $ (x,y)$ une famille libre. On en déduit $ k_x=k_y$.$ \sqcap$$ \sqcup$

$ \bullet\ $La famille des fonctions $ f_a$ de $ \mathbb{R}$ dans $ \mathbb{R}$ qui à $ x$ associe $ 1$ si $ x>a$ et 0 si $ x\leq a$ est libre.
Démonstration: On suppose qu'une telle fonction est combinaison linéaire d'un nombre fini d'autres fonctions, et on constate que la fonction doit être continue là où justement elle ne l'est pas...$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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