Définition [Application linéaire]
Une application d'un
-espace vectoriel vers un autre est une
application linéaire si:
Une application linéaire est aussi appelée morphisme d'espaces
vectoriels, ou morphisme algébrique.
C'est en particulier un morphisme de groupes. Une application
linéaire bijective est appelée isomorphisme, une application
linéaire de dans est appelée endomorphisme. Un endomorphisme
qui est aussi un isomorphisme est appelé automorphisme. L'inverse
d'un isomorphisme est un isomorphisme, appelé isomorphisme réciproque.
On note
l'ensemble des morphismes de dans ; c'est un
sous-espace vectoriel de . On note
l'ensemble des endomorphismes de . On note l'ensemble
des isomorphismes de dans . On note l'ensemble des automorphismes
de ; il est noté une fois qu'on l'a muni de la composition.
est un groupe, appelé groupe linéaire.
La notation signifie qu'il existe un isomorphisme de dans .
L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note et on appelle noyau de l'image réciproque de , c'est un sous-espace vectoriel. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est . On notera que le noyau d'une application linéaire est le noyau du morphisme de groupes correspondant.
On note la fonction identité de ; c'est une application linéaire et un
isomorphisme. On note l' ensembles des invariants de ;
.
On note l'ensemble des vecteurs changés en leur opposé;
.
On appelle homothétie de rapport d'un espace vectoriel l'application
.
Quelques propriétés:
On peut se contenter pour vérifier la linéarité d'une application d'assurer que
L'image de 0 par une application linéaire est 0.
L'identité est un automorphisme.
L'image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note l'image de , c'est un sous-espace vectoriel.
La composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
L'application qui à associe (resp. ) est un morphisme
d'espaces vectoriels.
si et seulement si
L'application qui à un polynôme associe son polynôme dérivé est un endomorphisme.
Définition
On appelle -ième itérée de la fonction
. est dit nilpotent si il existe tel que .
Le plus petit convenable est appelé indice de nilpotence de
. On convient que l'indice de nilpotence d'une fonction non nilpotente
est .
Propriétés:
Si est un endomorphisme nilpotent, alors et sont des automorphismes.
Définition [Définitions dans le cas d'un espace vectoriel produit]
On appelle -ième projection canonique d'un espace vectoriel
produit
l'application qui à dans
le produit associe sa composante dans .
On appelle -ième injection canonique d'un espace vectoriel
produit
l'application qui à dans
associe
.
On notera que si est linéaire de dans , alors
est une application
linéaire; son noyau est le produit des noyaux.