Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
185 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Applications linéaires next up previous index
suivant: Somme de sous-espaces vectoriels monter: Algèbre linéaire précédent: Généralités   Index

Applications linéaires

Définition [Application linéaire] Une application $ f$ d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel vers un autre est une application linéaire si:
$ \bullet\ $ $ f(x+y)=f(x)+f(y)$
$ \bullet\ $ $ f({\lambda}.x)={\lambda}.f(x)$
Une application linéaire est aussi appelée morphisme d'espaces vectoriels, ou morphisme algébrique. C'est en particulier un morphisme de groupes. Une application linéaire bijective est appelée isomorphisme, une application linéaire de $ E$ dans $ E$ est appelée endomorphisme. Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé automorphisme. L'inverse d'un isomorphisme est un isomorphisme, appelé isomorphisme réciproque.
On note $ {\cal L}(E,F)$ l'ensemble des morphismes de $ E$ dans $ F$; c'est un sous-espace vectoriel de $ F^E$. On note $ {\cal L}(E)$ l'ensemble des endomorphismes de $ E$. On note $ Isom(E,F)$ l'ensemble des isomorphismes de $ E$ dans $ F$. On note $ Aut(E)$ l'ensemble des automorphismes de $ E$; il est noté $ GL(E)$ une fois qu'on l'a muni de la composition. $ GL(E)$ est un groupe, appelé groupe linéaire.
La notation $ E \simeq F$ signifie qu'il existe un isomorphisme de $ E$ dans $ F$.
L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note $ Ker\ f$ et on appelle noyau de $ f$ l'image réciproque de $ \{ 0 \}$, c'est un sous-espace vectoriel. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est $ \{ 0 \}$. On notera que le noyau d'une application linéaire est le noyau du morphisme de groupes correspondant.
On note $ Id$ la fonction identité de $ E$; c'est une application linéaire et un isomorphisme. On note $ Inv f$ l' ensembles des invariants de $ f$; $ Inv f = Ker f-Id$. On note $ Opp f$ l'ensemble des vecteurs changés en leur opposé; $ Opp f = Ker f+Id$.
On appelle homothétie de rapport $ {\lambda}$ d'un espace vectoriel $ E$ l'application $ x \mapsto {\lambda}.x$.

Quelques propriétés:
$ \bullet\ $On peut se contenter pour vérifier la linéarité d'une application d'assurer que $ f({\lambda}.x + \mu.y)={\lambda}.f(x)+\mu.f(y)$
$ \bullet\ $L'image de 0 par une application linéaire est 0.
$ \bullet\ $L'identité est un automorphisme.
$ \bullet\ $L'image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note $ Im\ f$ l'image de $ f$, c'est un sous-espace vectoriel.
$ \bullet\ $La composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
$ \bullet\ $L'application qui à $ f$ associe $ g \circ f$ (resp. $ f \circ g$) est un morphisme d'espaces vectoriels.
$ \bullet\ $ $ Ker\ f \subset Ker\ g \circ f$
$ \bullet\ $ $ Im g \circ f = Im g$
$ \bullet\ $ $ g \circ f = 0$ si et seulement si $ Im\ f \subset Ker\ g$
$ \bullet\ $L'application qui à un polynôme associe son polynôme dérivé est un endomorphisme.

Définition On appelle $ n$-ième itérée de $ f$ la fonction $ f^n$. $ f$ est dit nilpotent si il existe $ n$ tel que $ f^n=0$. Le plus petit $ n$ convenable est appelé indice de nilpotence de $ f$. On convient que l'indice de nilpotence d'une fonction non nilpotente est $ +\infty$.

Propriétés:
Si $ f$ est un endomorphisme nilpotent, alors $ f-Id$ et $ f+Id$ sont des automorphismes.

Définition [Définitions dans le cas d'un espace vectoriel produit] On appelle $ k$-ième projection canonique d'un espace vectoriel produit $ E_1 \times ... \times E_n$ l'application qui à $ x$ dans le produit associe sa composante dans $ E_k$.
On appelle $ k$-ième injection canonique d'un espace vectoriel produit $ E_1 \times ... \times E_n$ l'application qui à $ x$ dans $ E_k$ associe $ (0,...,0,x,0,...0)$.

On notera que si $ f_i$ est linéaire de $ E_i$ dans $ F_i$, alors $ (x_1,...,x_n) \rightarrow (f_1(x_1),...,f_n(x_n))$ est une application linéaire; son noyau est le produit des noyaux.


next up previous index
suivant: Somme de sous-espaces vectoriels monter: Algèbre linéaire précédent: Généralités   Index
C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page