Applications linéaires

Définition [Application linéaire] Une application d'un -espace vectoriel vers un autre est une application linéaire si:


Une application linéaire est aussi appelée morphisme d'espaces vectoriels, ou morphisme algébrique. C'est en particulier un morphisme de groupes. Une application linéaire bijective est appelée isomorphisme, une application linéaire de dans est appelée endomorphisme. Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé automorphisme. L'inverse d'un isomorphisme est un isomorphisme, appelé isomorphisme réciproque.
On note l'ensemble des morphismes de dans ; c'est un sous-espace vectoriel de . On note l'ensemble des endomorphismes de . On note l'ensemble des isomorphismes de dans . On note l'ensemble des automorphismes de ; il est noté une fois qu'on l'a muni de la composition. est un groupe, appelé groupe linéaire.
La notation signifie qu'il existe un isomorphisme de dans .
L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note et on appelle noyau de l'image réciproque de , c'est un sous-espace vectoriel. Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est . On notera que le noyau d'une application linéaire est le noyau du morphisme de groupes correspondant.
On note la fonction identité de ; c'est une application linéaire et un isomorphisme. On note l' ensembles des invariants de ; . On note l'ensemble des vecteurs changés en leur opposé; .
On appelle homothétie de rapport d'un espace vectoriel l'application .

Quelques propriétés:
On peut se contenter pour vérifier la linéarité d'une application d'assurer que
L'image de 0 par une application linéaire est 0.
L'identité est un automorphisme.
L'image d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace vectoriel. On note l'image de , c'est un sous-espace vectoriel.
La composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
L'application qui à associe (resp. ) est un morphisme d'espaces vectoriels.


si et seulement si
L'application qui à un polynôme associe son polynôme dérivé est un endomorphisme.

Définition On appelle -ième itérée de la fonction . est dit nilpotent si il existe tel que . Le plus petit convenable est appelé indice de nilpotence de . On convient que l'indice de nilpotence d'une fonction non nilpotente est .

Propriétés:
Si est un endomorphisme nilpotent, alors et sont des automorphismes.

Définition [Définitions dans le cas d'un espace vectoriel produit] On appelle -ième projection canonique d'un espace vectoriel produit l'application qui à dans le produit associe sa composante dans .
On appelle -ième injection canonique d'un espace vectoriel produit l'application qui à dans associe .

On notera que si est linéaire de dans , alors est une application linéaire; son noyau est le produit des noyaux.